Линейная зависимость и независимость векторов на плоскости и в пространстве

Набор векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k$ называется системой векторов.

Система из $k$ векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k$ называется линейно зависимой, если существуют такие числа $\alpha_1,\alpha_2, \ldots,\alpha_k$ , не все равные нулю одновременно, что $\alpha_1\cdot\vec{a}_1+ \alpha_2\cdot\vec{a}_2+ \cdots+\alpha_k\cdot\vec{a}_k=\vec{o}.$

Система из $k$ векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k$ называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при $\alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_k=0$ , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.

Замечания 1.2

1. Один вектор $\vec{a}_1$ тоже образует систему: при $\vec{a}_1=\vec{o}$ — линейно зависимую, а при $\vec{a}_1\ne\vec{o}$ — линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора $\vec{a}_i=\lambda\vec{a}_j$ , то она линейно зависима.

4. Система из $k>1$ векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2, \ldots, \vec{a}_k$ линейно независима, а после присоединения к ней вектора $\vec{a}$ оказывается линейно зависимой, то вектор $\vec{a}$ можно разложить по векторам $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k$ , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k,\vec{a}$ — линейно зависима, то существуют числа $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k,\alpha$ , не все равные 0, что $\alpha_1\cdot\vec{a}_1+\alpha_2\cdot\vec{a}_2+\cdots+\alpha_k\cdot\vec{a}_k+\alpha\vec{a}=\vec{o}$ . В этом равенстве $\alpha\ne0$ . В самом деле, если $\alpha=0$ , то $\alpha_1\cdot\vec{a}_1+\alpha_2\cdot\vec{a}_2+\cdots+\alpha_k\cdot\vec{a}_k=\vec{o}$ . Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k$ равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k$ . Следовательно, $\alpha\ne0$ и тогда $\vec{a}=-\frac{\alpha_1}{\alpha}\vec{a}_1-\cdots-\frac{\alpha_k}{\alpha}\vec{a}_k$ , т.е. вектор $\vec{a}$ есть линейная комбинация векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k$ . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения $\vec{a}=\alpha_1\vec{a}_1+\cdots+\alpha_k\vec{a}_k$ и $\vec{a}=\beta_1\vec{a}_1+\cdots+\beta_k\vec{a}_k$ , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, $\alpha_1\ne\beta_1$ ).

Тогда из равенства $\alpha_1\vec{a}_1+\cdots+\alpha_k\vec{a}_k=\beta_1\vec{a}_1+\cdots+\beta_k\vec{a}_k$ получаем $(\alpha_1-\beta_1)\vec{a}_1+\cdots+(\alpha_k-\beta_k)\vec{a}_k=\vec{o}$ .

Следовательно, линейная комбинация векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k$ равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере $\alpha_1-\beta_1\ne0$ ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов $\vec{a}_1,\vec{a}_2,\ldots,\vec{a}_k$ . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.

Параллелограмм, построенный на векторах Пример 1.3. Параллелограмм $OACB$ построен на векторах $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ ; точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно (рис. 1.11). Требуется:

а) найти линейные комбинации векторов

$1\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OA}\,;\quad 1\cdot \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{OB}\,;\quad \frac{3}{2}\cdot \overrightarrow{OA}+ 2\cdot \overrightarrow{MN}\,;$

б) доказать, что векторы $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{MN}$ линейно зависимы.

Решение.

а) Так как $\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{BN}$ , то по правилу треугольника: $1\cdot\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}$ .

Рассуждая аналогично, получаем: $1\cdot\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}$ . Построим вектор $\overrightarrow{OK}=\frac{3}{2}\cdot\overrightarrow{OA}$ . Из равенства треугольников $AKM$ и $CMN$ следует, что $\overrightarrow{KN}=2\cdot\overrightarrow{MN}$ . Тогда $\frac{3}{2}\cdot\overrightarrow{OA}+2\cdot\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{ON}$ .

б) Учитывая, что $\overrightarrow{AB}=2\cdot\overrightarrow{MN}$ и $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ , получаем: $2\cdot\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ .

Перенося векторы в левую часть, приходим к равенству $1\cdot\overrightarrow{OA}+(-1)\cdot\overrightarrow{OB}+2\cdot\overrightarrow{MN}=\vec{o}$ , т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{MN}$ равна нулевому вектору. Следовательно, векторы $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{MN}$ линейно зависимы, что и требовалось доказать.