Ax + C = 0

– прямая параллельна оси Оу • В = С = 0; x=0 – прямая совпадает с осью Оу • А = С = 0 y=0– прямая совпадает с осью Ох Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий. Прямая линия Существуют различные формы уравнения прямой: Ах+Ву+С = 0 — общее уравнение прямой, где А,В,С — постоянные, причем А2+В2 ≠ 0; y = kx+b — уравнение прямой с угловым коэффициентом к = tga, где a — угол наклона прямой к оси Ох, отсчитываемый от оси Ох против движения часовой стрелки (положительное направление), b — отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу; Если к=0 у=в ( // оси ох) Если в=0 у=кх (начало координат) Если к>0, < наклона прямой к оси ох острый Если к<0, < тупой у — у0 = k (x — x0) — уравнение прямой, проходящей через заданную точку (х1, у1) в заданном направлении; — уравнение прямой в отрезках, где а, b — отрезки, отсекаемые прямой соответственно на осях Ох и Оу. Уравнение этого вида позволяет легко выполнить построение прямой, заданной любым уравнением; — уравнение прямой, проходящей через две заданные точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2). 2. Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , ) и ( , ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формула 20. Условия параллельности и перпендикулярности прямых и угол между ними. Расстояние от точки до прямой. Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой. Если уравнения прямой заданы в общем виде A1x + B1y + C1 = 0, A2x + B2y + C2 = 0, угол между ними определяется по формуле Условия параллельности двух прямых: а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1 = k2. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е. Условия перпендикулярности двух прямых: а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. (10) Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку, т.е. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости Если задано уравнение прямой Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(Mx, My) до прямой можно найти, используя следующую формулу d = |A•Mx + B•My + C| √ A2 + B2 Вопрос 21.Элементы аналитической геометрии в n-мерном пространстве. Решение систем m линейных неравенств с двумя переменными Пусть дана система из m линейных неравенств с двумя переменными. Решением каждого неравенства будет являться одна из полуплоскостей, на которые всю плоскость разбивает соответствующая прямая. Решением системы будет являться пересечение этих полуплоскостей. Данная задача может быть решена графически на плоскости Х10Х2. Решим каждое неравенство графически. Каждому неравенству удовлетворяют точки одной из полуплоскостей, на которые соответствующая прямая разделила плоскость ox1x2 . Для установления, какая же полуплоскость является решением, используются контрольные точки. C геометрической точки зрения такое решение - выпуклое множество.( целиком содержит отрезок, соединяющий любые две точки множества) . Решение системы линейных неравенств является общая часть плоскости 0x1x2, точки которой удовлетворяют каждому неравенству. Алгоритм: 1 Строим заданные прямые. Подставим координаты X Y( таблица) 2Построим все найденные прямые на системе координат X1X20 3Определим допустимые значения для каждого неравенства 4Найдем общее решение 22 Кривые второго порядка. Эллипс, Парабола Эллипс. Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до 2-х точек этой же плоскости есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое уравнение эллипса х^2/a^2 + y^2/b^2=1 Основное соотношение величин эллипса a^2-b^2=c^2 Эксцентриситет равен половине фокусного расстояния большой полуоси E= c/a. Характеризует степень сжатия эллипса, чем ближе значение Е к единице, тем ближе форма эллипса к окружности. А1А2В1В2- вершины А1А2- большая ось [А1А2]=2а В1В2 –малая ось [В1В2] =2в F1F2 –фокусы [F1F2] -= 2с – фокусное расстояние [F1М] +[F2М]= 2а Корень кв из (х+с)^2 +y^2 + корень кв их (х-c)^2 +y^2 = 2a Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой. Простейшее уравнение параболы y2 = 2px. Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса. Координаты фокуса F параболы (*) . (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*) Эксцентриситет параболы e = 1. y2 = 2px (p > 0) 23. Гипербола как дробно рациональная функция Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами. Простейшее уравнение гиперболы Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы. Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение a2 + b2 = c2. При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид x2 - y2 = a2. Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси. Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями Напомним, что асимптотой кривой, имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, которая обладает тем свойством, что когда точка по кривой удаляется в бесконечность, ее расстояние до этой прямой стремится к нулю. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой. При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами. Что является графиком дробно-линейной функции? Д: Графиком любой дробно-линейной функции является гипербола. У: Как построить график дробно-линейной функции? Д: График дробно-линейной функции получается из графика функции у = с помощью параллельных переносов вдоль осей координат, ветви гиперболы дробно-линейной функции симметричны относительно точки (- . Прямая х = - называется вертикальной асимптотой гиперболы. Прямая у = называется горизонтальной асимптотой. У: Есть ли у функции нули? Д: Если х = 0, то f(0) = , d . То есть у функции есть нули – точка А . У: Есть ли у графика дробно-линейной функции точки пересечения с осью Х? Д: Если у = 0, то х = - . Значит, если а , то точка пересечения с осью Х имеет координаты . Если же а = 0, в , то точек пересечения с осью абсцисс график дробно-линейной функции не имеет. У: Можно ли указать наибольшее и наименьшее значения функции? Д: Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. У: Какие прямые являются асимптотами графика дробно-линейной функции? Д: Вертикальной асимптотой является прямая х = - ; а горизонтальной асимптотой – прямая y=а/с 24 Уравнение плоскости и прямой в пространстве Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z Ax + By + Cz +D = 0 задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением, которое называется уравнением плоскости. Особые случаи уравнения : 1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат. 2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz. 3 B=0 – плоскость // оу 4 А=0 – плоскость // ох 5. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz. 6 A=D=0 – плоскость проходит через ох 7 B=D=0 –плоскость проходит через оу 8 A-B=0 –плоскость проходит через хоу 9. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость // плоскости Oyz. 10 A=C =0 – плоскость // Оуz Прямая в пространстве. Прямая в пространстве может быть задана: 1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; 2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями: = ; 3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями: . 26 Комплексное число. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами. Во множестве действительных чисел нельзя решить уравнение . Расширяя действительные числа, введем число - мнимая единица: . Тогда, уравнение будет иметь решение . П.1. Алгебраическая форма комплексного числа Определение. Комплексным числом называется число , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается ; называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Пример. . , . Определение. Два комплексных числа , называются равными , если , . Определение. Комплексное число равно 0, если и . Действия над комплексными числами Если то: