Свойства монотонности:
a=b Þ a+c=b+c и ac=bc
a<b Þ a+c<b+c и ac<bc
a >b Þ a+c>b+c и ac>bc
Вычитание натуральных чисел.
Определение. Разностью натуральных чисел а и b называется такое число c, что выполняется равенство: а =b+с.
а–b=с <=> а =b +с.
Операция нахождения значения разности называется вычитанием.
Таким образом, вычитание - операция, обратная сложению. а-уменьшаемое, b- вычитаемое, с-значение разности.
Например, 9-5=4, 4- это значение разности, т.к. 5+4=9.
Условие существования разности:
Теорема 6. (необходимое и достаточное условие).
Разность натуральных чисел а-b существует тогда и только тогда, когда а>b.
("а, bÎN) $ с=а-b <=> а>b
Док-во:
1.(небходимость)
Пусть существует разность чисел а и b, т.е. а-b .
Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что а= b +с.
Значит а >b ( по определению отношения «меньше»).
2.(достаточность).
Пусть дано, а> b.
Тогда, по определению отношения меньше, существует такое натуральное число с, что а=b+с.
Но, если а+b=с, то по определению разности чисел а и b, следует, что разность а =с-b.
Следовательно, разность двух натуральных чисел существует.
ч.т.д.
Теорема 7. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственная.
Доказательство (от противного ) .
Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b:
а-b =с1 и а-b = с2 .
При чем с1 не равно с2.
Тогда а= b +с1 и а= b +с2 (определение разности).
Левые части равенств есть одно и тоже число, значит, равны и правые части этих равенств.
Следовательно: b +с1 = b +с2
По свойству сократимости сложения, заключаем, что С1 = с2.
Правило вычитания числа из суммы:
Пусть а, b, с - натуральные числа.
- (а+b)–с =(а-с)+b, если а> с.
или
- (а+b) –с=а+(b–с), если b> с. или
- (а+b) –с=s–c, если s=а+b.
Правило вычитания суммы из числа:
Пусть а,b,с- натуральные числа.
Если а> (b+с), то
- а–(b+с) = (а–b)–с или
- а–(b+с) = (а–с)– b, или
- а–(b+с) = а– s, где s=а+b.
- Правила 1и 2 являются теоретической основой различных приемов вычислений.
(а+b) -(c+d), если (а+b)>(с +d).
(а+b) -(c+d)=(а-с)+(b-d), если а>с, b>d.
(а+b) -(c+d)=(а-d)+(b-с), если а > d и b >с.
