Определение: Сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, которая каждой паре натуральных чисел а и b ставит в соответствие число вида (а + b), обладающее свойствами:
1.("а NÎ) а + 1 = а';
2. ("а, b NÎ) а + b' = (а + b)'.
Свойства операции сложения 1 и 2 иногда называют аксиомами и обозначают А5 и А6. Символически эти свойства можно записать так:
А5 : ("а NÎ) а + 1= а'
А6 : ("а, b NÎ)( а + b') = (а + b) '.
Выражение а + b называется суммой чисел а и b, а сами числа а и b – слагаемыми.
Значение выражения а + b называют значением суммы
Т3. Сложение натуральных чисел существует и определено однозначно.
Формулировка теоремы содержит два утверждения:
1. Сложение натуральных чисел существует;
2.Сложение натуральных чисел единственно
Докажем единственность операции сложения
Предположим, что в множестве N существуют две операции сложения, обладающие свойствами(аксиомами) 1 и 2. Первую операцию сложения обозначим «+», а вторую «*»
По определению операции сложения имеем, что каждая обладает свойствами (аксиомами 5,6):
|
1) a+1=a' |
1)a*1=a' |
|
2)a+b‘=(a+b)' |
2) a*b‘=(a*b)' |
Докажем, что для любых натуральных a и b a+b=a*b (1)
Пусть число a выбрано произвольно, число b принимает различные натуральные значения.
Обозначим через M множество всех тех и только тех чисел b, для которых равенство a+b=a*b (1) истинно.
Сначала убедимся, что 1 содержится в M.
1Î М, так как a+1=a'=a*1
Затем покажем, что вместе с элементом b следующий за ним также содержится в M.
Доказательство:
Если a+b=a*b – по условию составления множества M,
Заметим, что (a+b)‘ =(a*b)‘ – по аксиоме 2.
Тогда a+b‘=(a+b)‘=(a*b)‘= a*b‘
Вывод:
В множестве M содержится 1;
В множестве M вместе с каждым числом b содержится следующее за ним число b‘, то множество M Ξ Ν по аксиоме 4.
Следовательно, на множестве N операция сложения определяется единственным образом.
Докажем существование сложения на множестве натуральных чисел
Доказательство основывается на аксиоме 4.
Пусть множество M состоит из тех и только тех чисел a, для которых можно определить a+b так, чтобы выполнялись свойства 1и 2 (аксиомы5,6).
1. a+1=a‘
2. a+b‘=(a+b)'
Доказательство:
Доказательство состоит из двух частей;
Часть1. Доказать, что число1 принадлежит множеству M.
Часть2. Доказать, что вместе с элементом а во множестве M содержится и следующий за ним элемент a'
Часть1. Докажем, что 1Î М
Для доказательства воспользуемся леммой; 1+b=b‘ (2).
1) Рассмотрим выражение a+1 при a=1.
Имеем: 1+1=1‘ (на основании равенства 2)
Вернувшись к нашему выражению можно сказать, что a+1=a‘ (выполняется свойство 1 (аксиома 5))
2) Рассмотрим выражение a+b‘ при a=1.
Имеем 1+b‘=(b')‘=(1+b)‘- на основании равенства 2.
Значит a+b‘ = (a+b)‘ при a=1.
Следовательно (выполняется свойство 2 (аксиома 6)).
Часть 2. Докажем, что вместе с элементом а во множестве M содержится и следующий за ним элемент a'
Для доказательства воспользуемся леммой: a‘+b= (a+b)‘ (3).
По аксиоме 2 за элементом (a+b) непосредственно следует (a+b)‘
Док-во:
Докажем, что элемент a‘ принадлежит множеству M.
1) a‘ +1=(a+1)‘ –по лемме 3;
(a+1)‘=(a‘)‘.
Значит, a‘ +1 =(a‘)‘ – свойство 1(аксиома5) выполняется.
2)a‘+b‘ = (a+ b‘)‘ –по лемме 3
(a+ b‘)‘ = ((a+b)‘)‘- по свойству элементов множества M
((a+b)‘)‘ = (a‘+b)‘ - по лемме 3.
Значит, a‘+b‘= (a‘+b)‘-выполняется свойство 2 (аксиома6)
Вывод: множество M содержит число 1 и вместе с каждым элементом a содержит число a‘.
На основании аксиомы 4 можно утверждать, множество MΞΝ.
Значит, операция сложения натуральных чисел существует на всем множестве натуральных чисел.
Ч.Т.Д.
Свойства операции сложения
1. Ассоциативность сложения
("а, b,сNÎ) (а + b) + с =а + (b + с) = а+b+ с
Док-во:
Пусть натуральные числа a и b выбраны произвольно, а c принимает различные натуральные значения.
Обозначим через M множество всех тех и только тех натуральных чисел c, для которых выполняется равенство (a+b)+c=a+(b+c).
1. Докажем, что 1Î М
Действительно при c=1 имеем (a+b)+1=(a+b)‘=a+b‘=a+(b+1).
Значит (a+b)+1= a+(b+1).
Следовательно, 1Î М
2. Докажем, что если сÎ М, то и с' Î М
Действительно: (a+b)+c‘ = ((a+b)+c)'
((a+b)+c)‘= (a+(b+c))‘ = (a+(b+c)‘) = (a+(b+c‘).
Значит с' Î М.
Вывод:
Согласно аксиоме 4 множество M совпадает со множеством N.
Следовательно ассоциативный закон имеет место для всех натуральных чисел. ч.т.д.
2.Коммутативность сложения
("а, b NÎ) а + b =b + а
От перемены мест слагаемых сумма не меняется.
3. Сократимость сложения
("а, b,сNÎ)
а = b < => а + с = b + с;
4. Сумма двух любых натуральных чисел не равна ни одному из слагаемых.
Таблица сложения:
|
a+1 |
a+2 |
a+3 |
a+4 |
|
1+1=1‘=2 |
1+2=1+1‘=(1+1)‘=2‘=3 |
1+3=1+ 2‘= =(1+2)‘=3‘=4 |
1+4= |
|
2+1=2‘=3 |
2+2=2+1‘= =(2+1)‘=3’=4 |
2+3=…. |
2+4= |
|
3+1=3‘=4 |
3+2=…. |
3+3=…. |
3+4= |
