Теория натурального числа:
1. Отношение на множестве
2. Некоторые исходные (неопределенные) понятия
3. Формулирование аксиомы
4. Формулирование и рассмотрение других понятий. Они доказываются. Умозаключение называется теорией.
Структура аксиоматической теории натуральных чисел.
- Отношение на множестве. «Непосредственно следовать за».
- Основные неопределяемые понятия: множество, правило логики.
- Аксиомы (4 аксиомы Дж. Пеано)
- Определение понятий, не входящих в состав основных, например, понятие «натуральное число».
- Теоремы
Об аксиоматическом способе построении теории.
Правила (согласуются с тем, что написано выше):
Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.
Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение, в нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий.
Формулируются аксиомы – предложения, которые в данной теории принимаются без доказательства; в них раскрываются свойства основных понятий.
Каждое предположение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано; такие предположения называются теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшесвующих рассматриваемых.
Основные неопределяемые понятия:
1. Отношение «непосредственно следовать за» на непустом множестве N (не позволяет упорядочить множество натуральных чисел).
2. Понятие множества; элементы множества и др.
3. Правила логики.
ЭЛЕМЕНТ, НЕПОСРЕДСВЕННО СЛЕДУЮЩИЙ ЗА ЭЛЕМЕНТОМ А, ОБОЗНАЧАЕТСЯ А´.
Аксиомы Дж. Пеано.
А1.
В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Этот элемент называют единицей и обозначают символом 1.
А1: (1∈ N) (∀а∈ N), а´ ≠ 1.
А2. Аксиома о следующем элементе.
Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а´, непосредственно следующий за ним.
А2: (∀а∈ N) (∃!∈ N), а´ = b).
А3. О предшествующем элементе.
Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
А3: (∀а, b, с ∈ N), с = а´ ∧ c = b´ ⇒ a=b.
А4. Аксиома индукции.
Всякое подмножество М множества N, обладающее свойствами
1) 1∈ M, 2) из того, что элемент а ∈M, следует, что а´ ∈ М,
совпадает с множеством N.
А4. М⊂N ∧1∈M ∧(a∈M ⇒ a´ ∈M) ⇒ M=N.
Требования к системе аксиом:
- Непротиворечивость
- Независимость
- Полнота.
