ОСЛУ. Условие существования ненулевого решения ОСЛУ (с доказательством). Линейно зависимые, линейно независимые решения. ФНР ОСЛУ. Теорема о структуре ФНР ОСЛУ. Общее решение ОСЛУ. Общее решение НеОСЛУ.

A*X=B

СЛУ называется однородной, если B=0, в противном случае система неоднородна.

Замечание: ОСЛУ совместна, т.к. x1=x2=...=xn=0 - решение ОСЛУ. Такое решение называется нулевным => rang (A) = rang (A/B)

ОСЛУ имеет ненулевое решение <=> rang (A) < n

Столбцы X1, X2,...,XN - называются линейной комбинацией

Столбцы X1, X2,...,XN - называются линейно зависимыми, если с*X1+с*X2+,...,+с*XN=0

Фундаментальным набором решений (ФНР) ОСЛУ называетсся перечень столбцов X1, X2,...,XN одинаковой размерности, удовлетворяющих условиям:

1) Каждый столбец X_j - решение ОСЛУ

2) X1, X2,...,XN - Линейно независимы

3) Добавление хотя бы одного столбца делает систему стобцов линейно зависимой.

Замечание: ФНР не может содержать нулевого столбца, т.к. 0*X1+0*X2+,...,+0*XN=0 наличие нулевого столбца приводит к линейной зависимости.

пусть X1, X2,...,Xn - ФНР ОСЛУ, тогда

X_{о.о (общее решение)} =c₁*X₁+c₂*X₂+,...,+c_n-rX_n-r

Пусть S : A_mxn * X_nx1 = B_mx1 - не ОСЛУ, а S2 : A_mxn * X_nx1 = 0_mxn - соответствующая ОСЛУ. Тогда X_{о.н (общее решение неОСЛУ)} = X_о.о. + X_{ч.н (частное решение неОСЛУ)}