Подстановка
Подстановкой множества М называется взаимооднозначное отображение множества множества М на себя же.
Замечание: Отображение называется взаимооднозначным. если каждому элементу 1-го множества ставится в соответствие единственный элемент 2-го множества и наоборт.
Обозначение: греческие буквы
F= 1 2 3 4 не подстановка, т.к. ф(1)=ф(2)=2
2 2 1 3
Инверсия
Пара (ф(i), ф(j)) называется инверсией, если ф(i) > ф(j) при i<j
Определитель матрицы
Квадратной матрице 
ставится в соответветствие число
называемое определителем матрицы или детерминантом.
Где p - число инверсий
сумма всех перестановок n!
Правила расчёта определителя: Правильно паралелльных линий, правило треугольника.
Свойства определителей (доказать любые два)
1)
2)При перестановке любых двух строк(столбцов) матрицы знак определителя меняется на противоположный
3) Определитель, содержащий нулевую строку или столбец, равен нулю
4) Определитель, содержащий две равные (пропорциональные) строки (столбцы) равен 0.
5) При умножении какой-либо строки (столбца) матрицы на число k, не равное 0, определитель матрицы изменится в k раз.
6) Если к какой-либо строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку (столбец), умноженное на число не равное нулю, то определитель не изменится.
7) Определитель диагональной матрицы = произведению диагональных эелементов
8) Определитель треугольной матрицы = произведению диагональных элементов
9) Если элементы i-той строки матрицы являются суммой m слагаемых, то определитель = сумме m определителей, в i-той строке которых стоят: в первом определителе - первые слагаемые, во втором вторые и тд.
Доказательство 1:
Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножению определителя на это число:
Доказательство. При умножении строки (или столбца) определителя на число λ один из сомножителей в произведении 
умножается на это число. В результате число λ является общим множителем суммы (1), представляющей собой определение детерминанта матрицы A.
умножается на это число. В результате число λ является общим множителем суммы (1), представляющей собой определение детерминанта матрицы A.Доказательство 2:
Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю.
Доказательство. По Свойству, при перестановке двух строк местами определитель изменяет свой знак. С другой стороны, перестановка местами одинаковых строк не изменяет определитель. Следовательно, det A = –det A, что влечет det A = 0.
