Предложение 2. Все собственные векторы, приналежащие одному и тому, же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное, подпространство. Утверждение немедленно следует из того, что координатные столбцы этих векторов составляют множество всех решений однородной системы линейных уравнений.
Теорема 2. Если собственные векторы х1…..xk принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы. Проверим утверждение для двух собственных векторов x1 и x2, принадлежащих различным собственным значениям λ1 и λ2. Пусть они линейно зависимы. Так как векторы ненулевые, в этом случае найдется число а такое, что х1=а*х2. Применяя преобразование А, мы получим А(х1)=λ1*х1 и А(х1)=а*А(х2)=а*λ2х2=λ1х1. Это означает, что а*λ2х2=λ1х1, что невозможно при λ1≠λ2. Итак, векторы линейно независимы.
Допустим теперь, k-1 собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям, линейно независима, и докажем это утверждение для системы из k векторов. Cистема векторов х1...хk удовлетворяет условию теоремы. Рассмотрим а1х1+...+аkxk=0(8) Отсюда действием преобразования А и умножением на λk мы. получаем соответственно a1x1λ1+….+a1x1λ1=0 и a1x1λk+….+a1x1λ1=0. Почленное вычитание этих равенств дает нам a1(λ1-λk)x1+….+ ak-1(λk-1-λk)xk-1=0(9). По предложению индукции эта линейная, комбинация - тривиальная, и, следовательно, a1(λ1-λk)=0….ak-1(λk-1-λk)xk-1=0 Т.к. собственные значения различны, имеем a1=...=аk-1=0. Учитывая это в равенстве (8), находим ak=0. Линейная комбинация (8)- тривиальная. Теорема доказана.
Предложенне 3. Если А и А’ - матрицы преобразования А в разных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают. Действительно, согласно формуле А'-S^(-1)*AS мы имеем det(А’-λЕ)=det(S^(-1)AS—λE)=detS^(-1)(А-λЕ)S=det(A-λE)detS*detS^(-1)=det(A-λE). Из этого предложения следует, что мы можем называть характеристический многочлен матрицы А характеристическим многочленом преобразования А. Коэффициенты характеристического многочлена являются инвариантами, связанными с преобразованием. В частности, детерминант матрицы преобразования не зависит от выбора базиса.
Другим важным инвариантом является коэффициент при (-λ)^(n-1), называемый следом матрицы: a(1:1)+a(2:2)+…..+a(n:n). Рассмотрим произвольный многочлен Р(λ)=γnλn+…+γ1λ1+γ0. Если λ0- корень этого многочлена, то Р(λ) делится на двучлен λ-λ0, т.е. представляет собой произведение λ-λ0 на многочлен Р1(λ). Может случиться, что Р(λ) делится не только на λ-λ0, но и на (λ-λ0)^(s) при некотором целом s>1, иначе говоря, Р(λ) имеет вид (λ-λ0)^(s)*P2(λ), где Р2- многочлен. Самое большое число s, обладающее этим свойством, называется кратностью корня λ0. Корни кратности 1 называются простыми.
