Дадим «геометрическое» истолкование теоремы Фредгольма для важного частного случая систем из n уравнений с n неизвестными. Для этого рассмотрим n-мерное евклидово пространство Ксиn и ортонормированный базис в нем. Каждый столбец будем считать координатным столбцом некоторого вектора, матрицу системы А-матрицей линейного преобразования А. Теорему Фредгольма можно сформулировать так: хотя бы один вектор x, для которого А(x)=b, существует тогда и только тогда, когда вектор b ортогонален каждому y, удовлетворяющему условию А*(y)=o. Существование вектора x означает, что b принадлежит подпространству А(Ксиn). Множество векторов y-ядро преобразования А*. Мы пришли к следующей формулировке теоремы: Множество значений преобразования А совпадает с ортогональным дополнением ядра его сопряженного преобразования А*. Действительно,
(А(x),y)=(x,A*(y))=(x,o)=0. Следовательно, А(Ксиn) принадлежит ортогональному полнению ядра А*. Сравнение размерностей показывает, что пространства совпадают.
