Проверим для двух векторов x1 , x2 , принадлежащих различным собственным значениям λ1 , λ2 .
Пусть они линейно зависимы. Так как векторы ненулевые, в этом случае найдется число α такое, что x1= α x2. Применяя преобразование А, мы получим А(x1 )= λ1 x1 и А(x1 )= α А(x2 )= α λ2 x2= λ2 x1
Это означает, что λ1 x1= λ2 x1, что невозможно при λ1 ≠ λ2. Векторы линейно независимы.
Допустим теперь, что любая система из k-1 собственных векторов, принадлежащих различным собственным значениям, линейно независима, и докажем это утверждение для системы из k векторов. Пусть система векторов x1,…,xk удовлетворяет условию теоремы. Рассмотрим их равную нулю линейную комбинацию α1x1+…+ αkxk=0 Отсюда действием преобразования А и умножением на λk мы получаем α1 λ1 x1+…+ αk λk xk=0 и α1 λk x1+…+ αk λk xk=0. Почленное вычитание нам дает
α1 (λ1 – λk)x1+…+ αk-1 (λk-1 – λk ) xk-1=0 . По предложению индукции эта линейная комбинация – тривиальная, и α1 (λ1 – λk)=0, … , αk-1 (λk-1 – λk )=0. Поскольку собственные значения попарно различны, имеем α1=…= αk-1=0. Учитывая это в α1x1+…+ αkxk=0 находим αk=0. Линейная комбинация
α1x1+…+ αkxk=0 – тривиальная. Теорема доказана.
