Билинейной функцией или билинейной формой на линейном пространстве называется функция Ь от двух векторов, удовлетворяющая равенствам
b(x+y, z) = b(x,z)+b(y,z), b( αx,y) = αb(x,y), и b(x,y+z)=b(x,y)+b(x,z), b(x, αy)= αb(x,y).
Выберем в пространстве базис е1,..., еn. Значение билинейной формы b на векторах х и у может быть вычислено следующим образом
βij - значения билинейной формы на всевозможных парах базисных векторов — называются коэффициентами билинейной формы в базисе е1,..., еn. Их принято записывать в виде квадратной матрицы порядка n:
Матрица билинейной формы -
Можно написать в матричном виде:
b(x,y) = ξTBη (1)
Билинейная форма Ь называется симметричной, если для любой пары векторов b(x,y) = b(y,x)
Квадратичной формой на линейном пространстве называется функция К, значение которой на любом векторе x определяется равенством k(x)= b(x,x), где b — симметричная билинейная функция.
Матрица симметричной билинейной формы называется матрицей соответствующей квадратичной формы К.
Согласно (1) получаем следующее выражение k(x) = ξTBξ. Правая часть — однородный многочлен 2 степени относительно ξ1, …, ξn. После приведения подобных формула принимает вид
Т.1. Для каждой квадратичной формы k существует базис, в котором
т.е. Матрица квадратичной формы является диагональной.
Диагональный вид матрицы -
38.
