Суммой подпр-в L’ и L’’ назовем и обозначим L’+L’’ линейную оболочку их объединения L’UL” значит, что вектор х из L’ и L’’(и только такой) представим в виде x=Σaipi+Σbjqj=x’+x’’, где векторы pi лежат в L’ а векторы qj- в L". Пусть размерности L' и L" равны k и t. Выберем базис е1…ek в L’ и базис f1….ft в L’’ Каждый вектор из L'+L’’ раскладывается по е1...еk, f1...ft. Мы получим базис в L’+L’’, если удалим из этой системы векторов те векторы, которые линейно выражаются через остальные. Выберем базис в пространстве L и составим матрицу из координатных столбцов всех векторов e1...ek, f1…ft. Те векторы, координатные столбцы которых содержат базисный минор этой матрицы, составляют базис в L'+L’’.
Определение. Назовем пересечением подпространстве L' и L" и обозначим L'∩L’’ множество векторов, которые принадлежат одновременно обоим подпространствам. L'∩L " есть подпространство. Если векторы х и у лежат в L'∩L'’, то они лежат и в L’ и в L". Поэтому вектор х+у и при любом а вектор ах также лежат и в L' и в L", а следовательно, и в L'∩L”.
В конечномерном пространстве L подпространства L' и L’’ задаются системами уравнений. Их пересечение задается системой, получаемой объединением всех уравнении из систем, определяющих L' и L". Фундаментальная система решений такой системы уравнений - базис в подпространстве L'∩L".
Теорема 1. Размерность суммы двух подпространств равна сумме их размерностей минус размерность их. пересечения.
Доказательство. Пусть L' и L"- два подпространства в L конечной размерности. Рассмотрим в L'+L" следующую систему векторов. Если пересечение L'∩L"- ненулевое пространство, то возьмем базис е1.....еk в L'∩L" и дополним его векторами f1...ft до базиса в L' и векторами g1….gm до базиса в L". Если же L'∩L"- нулевое пространcтво, то просто берем объединение базиса в L' и базиса в L’’. Докажем прежде всего, что каждый вектор x в L'+L” является линейной комбинацией выбранных нами векторов. Это следует из того, что x=x’+x", где x’ лежит в L',а х"— в L’’. Тогда х’ разлагается по векторам f1….ft, е1…ek, a x’’ — по векторам e1...ek,g1…gm. Теперь покажем, что рассматриваемая система векторов линейно независима. Возьмем какую
нибудь равную нулю линейную комбинацию этих векторов(1) Вектор лежит в L". Но, очевидно, x= и поэтому x лежит и в L’. Таким образом, вектор x должен находиться в пересечении L'∩L". Можно заключить, что a1=...=ai=0 и γ1=…=γs=0. В равенстве (1) остаются только член L'∩L”≠0. Но и их коэффициенты равны нулю, так как векторы е1..ek линейно независимы. Таким образом, линейная комбинация (1) обязательно тривиальная и все векторы линейно независимы => система векторов f1...fi e1…ek, g1…gm является базисом в подпространстве L’+L’’.
В самом деле, размерность L’ равна i+k, размерность L" равна k+m, размерность L’∩L’’ есть k, а размерность суммы L’+L’’, как мы показали, равна i+k+m
Из теоремы 1 следует, что два подпространства сумма размерностей которых больше n- размерности всего пространства, обязательно имеют ненулевое пересечение. Действительно, размерность их суммы не может превосходить n.
3. Прямая сумма подпространств. Если пересечение подпространств L’ и L”- нулевое подпространство, то сумма L’+L’’ называется прямой суммой и обозначается L’(+)L’’
Размерность прямой суммы равна сумме размерностей слагаемых. Пусть f1 ... ft- базиc в L', a g1..gm - базис в L’’. Из доказательства теоремы 1 видно, что система векторов f1....fе, g1….gm является базисом в сумме.
Предложение 5. Каждый вектор х в прямой сумме раскладывается в сумму векторов х’ из L’ и х’’ из L’’ единственным образом.
Если мы имеем два таких разложения х=х'+х" и х=у’+у", то х'-у’=у"-х". Ясно, что вектор х‘-у' входит в L’, но он равен у"—х" и, следовательно, принадлежит L’. Таким образом, откуда х’=у' и х"=у".
Отметим, что понятия суммы и пересечения подпространств легко могут быть распространены на любое конечное число подпространств.
Сумма нескольких подпространств называется прямой, суммой, если каждое из них имеет нулевое пересечение с суммой остальных.
