О п р е д е л е н и е . Матрица, удовлетворяющая условию (16), называется ортогональной.
Ортогональные матрицы и только они могут служить матрицами перехода от одного ортонормированного базиса к другому. Равенство (16) равносильно S^r=S^-1. В силу свойств обратной матрицы: SS^r=E(18)=>матрица будет также Ортогональной. Обозначив элементы матрицы S через Q(k,i) мы можем переписать равенства (16) и (18) соответственно: Сумма по k от 1 до n Q(k,i)(k,j) = 0, если i≠j и 1, если i=j(19)
Соотношения (19) можно получить и непосредственно по формуле (x,y)=Σe(i)n(i)
если вспомнить что столбцы матрицы перехода — координатные столбцы новых базисных векторов по старому базису. Вычисляя детерминант, каждой части равенства (16), мы получим (detS)^2= l . Поэтому детерминант ортогональной матрицы равен +1 или —1.
Определение. Ортогональным дополнением подпространства Ek называется, множество всех векторов, перпендикулярных каждому вектору из Ek. Ортогональное дополнение подпространства Ek обозначим через Ek’.
Предложение 4: Ортогональное дополнение к-мерного подпространства Ek’ есть подпространство n— k измерений. Доказательство. Пусть а1,…,аk - базис в Ek. Вектор х Ek’ тогда и только тогда, когда (x,a1)=0…(x,ak)=0. Eсли х лежит в Ek’,то условия (21), очевидно,
выполнены. Обратно, при выполнении этих условий х ортогонален к любому вектору а из Ek, поскольку (x,a)=(x,Σλ(p)a(p)=Σλ(p)(x,a(p))=0. Выберем в En ортонормированный базис и обозначим через α1…αn компоненты вектора a(p) (при любом р = 1,…, k), а через e1…en компоненты вектора х. Условия (21) запишутся тогда в виде однородной системы из k линейных уравнений с п неизвестными : α(1,1)e1+…α(n,1)en=0... α(1,k)e1+…α(n,k)en=0
Ранг матрицы системы =k, поскольку ее строки — строки из компонент векторов a1…ak —линейно независимы. Совокупность всех решений системы, как мы показали, определяет Еk’ а с другой стороны, совокупность всех решений такой системы определяет (n-k)-мерное подпространство. Предложение доказано.
