О п р е д е л е н и е . Множество L - линейное пространство, а элементы —векторы, если:
1) (операция сложения) по которому любым двум элементам х и у сопоставляется элемент, называемый их суммой и обозначаемый x+y.
2) (операция умножения на число), по которому элементу х и числу а сопоставляется элемент, называемый произведением х на а и обозначаемый ах.
3) Для любых элементов х, у и z для любых чисел а и b выполнены следующие требования (или аксиомы): 1. x+y=y+x 2. (x+y)+z=x+(y+z) 3. Существует o, x+o=x 4. x+(-x)=o 5. α(x+y)=αx+αy 6. α+β= αx+βy 7. α(βx)=(αβ)x 8. X*1=X
Простейшие следствия. Нулевой и противоположные вектора единственные. Допустим, что существуют два вектора О1 и О2 удовлетворяющих аксиоме 3°. Тогда их сумма равна каждому из них О1+О2=О1=О2 . Аналогично, если какой-нибудь вектор Х имеет два противоположных -Х1 и -Х2 , то сумма (-Х1)+ Х + (-Х2) равна и -Х1 и -Х2. Равенство О+О=О означает, что противоположным для нулевого вектора является он сам, а из равенства (-Х)+(Х) = о следует, что противоположным вектором для -Х является-вектор Х. Легко видеть, что для любого вектора X выполнено равенство 0x=0. Отсюда вытекает, что (-1)x = -x для любого x. аo=а(х-х)=ах-ах=о. Если ах=о , то либо а=0, либо х = о.Пусть а ≠ 0 , Тогда умножить данное равенство на а^(-1) и получить 1x=o.
Выражение вида a1X1 + … + anXn - линейная комбинация векторов X1,…,Xn , а коэффициенты - a1,…,an.
Предложение 8. В n-мерном пространстве каждая упорядоченная система из n линейно независимых векторов является, базисом. Если дана такая система векторов, то каждый вектор пространства раскладывается по этим векторам, так как иначе в пространстве нашлось бы n+1 линейно независимых векторов.
Предложение 9. В n-мерном пространстве каждую упорядоченную линейно независимую систему k<n векторов можно дополнить до базиса. Это вытекает из того, что к любой такой системе можно присоединить еще один вектор, который через нее линейно не выражается. (Если бы это было не так, то система сама, была бы базисом.) Теперь мы имеем k+1 линейно независимых векторов. Если k+1<n, то повторяем рассуждение. Мы действуем так до тех пор, пока не получим n линейно независимых векторов, в число которых входят данные k векторов. В частности, до базиса можно дополнить любой ненулевой вектор.
