: Пусть в области D дана функция U=f(x,y,z) M’(x0,y0,z0) и придадим y,z постоянные значения. Тогда функция становится функцией одной переменной.
Рассмотрим ее в окрестных точках. Окрестность х0 и поставим вопрос о производной dx. Придадим x0 приращение. dxU=f(x0+dx,y0,z0)-f(x0,y0,z0) – частное приращение. Lim(dx->0)dxU/dx =бU/бx=U’ частная производная функции U. Полным приращением называется dU=df(x0,y0,z0)=f(x0+dx, y0+dy, z0+dz)-df(x0,y0,z0).
Если частные производные существуют и непрерывны в M0, то полное прощение допускает следующее представление: dU=f’xDx+f’ydy+f’zdz+al(dx)dx+be(dy)dy+ga(dz)dz, где al,be,ga ->0 при dx,dy,dz ->0.
Док-во: dU= f(x0+dx,y0,z0)-f(x0,y0,z0)+f(x0,y0+dy,z0+dz)-f(x0,y0+dy,z0+dz)+f(x0,y0,z0+dz)-f(x0,y0,z0+dz)=f’(x0+Qdx,y0+dy,z0+dz)dx+ f(x0,y0+Qdy,z0+dz)dy+ f(x0,y0,z0+Qdz)dz.
По теореме Логранжа. = f’x(M0)+al(dx)dx+f’y(M0)dy+be(dy)dy+f’z(M0)dz+ga(dz)dz. Из существования и непрерывности в точке частных производных => непрерывность функции.
