: 1-го рода: Такой точкой разрыва называют точку разрыва, если в этой точке существуют и конечны оба односторонних предела. Если пределы равны, то точка устранимого разрыва. Если не равны, то функция имеет скачок в точке x0 равный d=lim(x->x0-0)fx-lim(x->x0+0)fx.
2-го рода: если хотя бы один из односторонних пределов равен inf или несуществует. Для того, чтобы определить функцию по непрерывность нужно значение функции в точке разрыва положить равным пределу функции в этой точке. Монотонные функции имеют точки разрыва только первого рода.
Теорема: Условие непрерывности монотонной функции: Если область определения функции занимает некоторый промежуток, то эта функция непрерывна. Верно и обратное. Док-во: Возьмем х0 не являющейся правым концом промежутка, докажем непрерывность функции справа. Возьмем e на столько малым, чтобы Y1=y0+e тоже было внутри промежутка. Тогда найдется f(x1)=y1 При этом x1>x0. Положим б=x1-x0, так что x1=x0+б, Теперь 0<x-x0<б или x0<x<x1. => y0<f(x)<y1 0<f(x)-f(x0)<e => lim(x->x0+0)f(x)=f(x0)
