: 1)у=f(x) – непрерывна в точке x0 тогда и только тогда, когда для любого х(n) x(n) принадлежит D(f), x->x0 так, что f(xn)->f(x0).
2) F непрерывна в точке x0 если lim(x->x0)f(x)=f(x0)
3)Функция непрерывна, если для бесконечно малого приращения х, соответствует бесконечно малое приращение у: dy=f(x+dx)-f(x)
4) Функция непрерывна на множестве Х если она непрерывна в каждой точке этого множества. Для любого x из Х(Дальше по опр. Предела).
Односторонняя непрерывность: Функция непрерывно слева в точке х0 тогда и только тогда, когда f(x0)-0=f(x0). Аналогично справа. Отсюда вытекает непрерывность в точке.
Теорема: Условие непрерывности монотонной функции: Если область определения функции занимает некоторый промежуток, то эта функция непрерывна. Верно и обратное. Док-во: Возьмем х0 не являющейся правым концом промежутка, докажем непрерывность функции справа. Возьмем e на столько малым, чтобы Y1=y0+e тоже было внутри промежутка. Тогда найдется f(x1)=y1 При этом x1>x0. Положим б=x1-x0, так что x1=x0+б, Теперь 0<x-x0<б или x0<x<x1. => y0<f(x)<y1 0<f(x)-f(x0)<e => lim(x->x0+0)f(x)=f(x0)
