Вопрос 4. Производные функций y=x^n, а^x, log по n ^x, cos x, tg x , ctg x

1. y = xⁿ. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона:

   (a + b)ⁿ = aⁿ+n·a^n-1·b + 1/2∙n(n – 1)a^n-2∙b²+ 1/(2∙3)∙n(n – 1)(n – 2)a^n-3b³+…+ bⁿ,

   можно доказать, что

   

   Итак, если x получает приращение Δx, то f(x+Δx) = (x + Δx)ⁿ, и, следовательно,

   Δy=(x+Δx)ⁿ – xⁿ =n·x^n-1·Δx + 1/2·n·(n–1)·x^n-2·Δx² +…+Δxⁿ.

   Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δx в степени выше 3.

   Найдем предел

   

   Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R.

2. y= sin x. Вновь воспользуемся определением производной.

   Так как, f(x+Δx)=sin(x+Δx), то

   

   Таким образом,

   

3. Аналогично можно показать, что

    

   

4. Рассмотрим функцию y= ln x.

   Имеем f(x+Δx)=ln(x+Δx). Поэтому

   

   Итак,

   

5. Используя свойства логарифма можно показать, что

   

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.