Функция, имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой. Операция нахождения производной - диффернцирование.
Если функция 
дифференцируема в точке 
, то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция 
дифференцируема в точке , то существует конечный предел 
. Тогда по теореме о связибесконечно малой с функцией, имеющей конечный предел, будем иметь
,
где 
- бесконечно малая величина при 
.
Откуда
.
Переходя в этой формуле к пределу при , получим по свойствам бесконечно малых, что 
.
Следовательно, по одному из определений непрерывности функция в точке является непрерывной.
Обратная теорема, вообще говоря, неверна, т.е. функция может быть непрерывной в данной точке, но не быть дифференцируемой в этой точке.
В качестве примера исследуем функцию 
в точке 
, которая непрерывна в точке (впрочем, как и во всех других точках числовой прямой). В этой точке ее левосторонний и правосторонний пределы равны нулю, что совпадает со значением самой функции в точке 
.
По определению
Таким образом, функция в точке 
имеет конечные, но не равные друг другу односторонние производные (левая равна 
, а правая равна 
). Поэтому она не имеет производной в этой точке и не является в ней дифференцируемой.
