Пусть Х – банахово пространство. Рассмотрим уравнение х=Fx.
Где F:D в Х->Х. В общем случае не линейный оператор. Если х0 из D является решением уравнения т.е. справедливо равенство х0=Fx0 то х0 называется неподвижной точкой оператора F.
Пусть М входит в D. Говорят, что оператор F на множестве М удовлетворяет условию Липшеца с константой к>0 если для любых х1 х2 из М выполняется условия ||Fx1-Fx2||<=k||x1-x2|| Очевидно, что такой оператор будет непрерывным. Если k<1 то оператор F осуществляет сжимающееся отображение множества.
Теорема(Банаха): Пусть М входит в D непустое замкнутое множество и оператор F дейстует на М удовлетворяет условию Липшеца с постоянной k<1 Тогда существует единственная неподвижная точка оператора F принадлежащая М.
Доказательство:
Докажем, что неподвижную точку можно найтикак предел последовательности приближения. Произвольно зафиксируем х0 из М и построим последовательность [xn] так, что x1=Fx0, x2=Fx1… Сначала докажем, что [xn] является фундоментальной последовательностью. Пусть d=||x1-x0|| Тогда ||x2-x1||=||Fx1-Fx0||<=k||x1-x0||=kd. Аналогично для следующих элементов последовательности. Учитывая, что k<1 оценим
||xn+p-xn||=||xn+p-xn+p-1+xn+p-1….||<=d(k^n+p-1+…k^n)<=k^n/(1-k)*d
Отсюда следует, что k^n->0 а значит последовательность фундоментанльная и в силу замкнутости имеет предел.
Рассмотрим равенство xn=Fxn-1 и перейдем к пределу при n->inf. Учтывая непрерывность(из условия Липшеца) оператора F, получим х*=Fx* это и означает, что мы нашли неподвижную точку оператора F.
Докажем единственность. Пусть существует 2 неподвижные точки, тогда 0<||x*-x**||=||Fx*-Fx**||<=k||x*-x**|| Отсюда получим, что k>1 что противоречит условию теоремы. ЧТД
Пусть дана задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения x’(t)=f(t,x(t)); x(a)=x0. найдем интегральное уравнение и запишем в виде операторного. Fx=x0+∫(х0,t)f(s,x(s))ds
Для доказательства существования единственности решения задачи Коши проверим, что оператор F удовлетворяет условиям теоремы Банаха на всем пространстве т.е. M=C[a,b] На пространстве рассматривается макс норма.
Теорема: Пусть выполнены 2 условия
- f(t,u) по второму аргументу удовлетворяет условию Липшица с константой к>0 т.е. |f(t,u1)-f(t,u2)|<=k|u1-u2|,t
- k(b-a)<1
Тогда существует решение задачи коши. Это решение можно найти методом последовательных приближений.
Доказательство: Достаточно проверить, что оператор F при произвольном фиксированном х0 удовлетворяет условию Липшица с константой меньше 1. имеем
|Fx1-Fx2|<=∫(0,t)|f(s,x1(s)-f(s,x2(s))|dx<=∫k|x1(s)-x2(s)<=k||x1-x2||(b-a)
Перейдем в этом неравенстве к максимуму по t и получим ||Fx1-Fx2||<=(b-a)k||x1-x2|| так как константа по условию теоремы меньше 1 то оператор F является сжимающим. По теореме Банаха F имеет единственную неподвижную точку(решение интегрального уравнения).
