Пусть Х – комплексное банахово пространство, А – линейный ограниченный оператор. Рассмотрим линейный ограниченный оператор Aa зависящий от параметра a(константа) Aa=aI-A
Определение1: Значение а называется регулярным значением оператора А, если соответствующий этому значению оператор А обратим, т.е. существует линейный ограниченный оператор (aI-A)^-1
Множество всех регулярный значений оператора называется резольвентным и обозначается р(А). Это множество объединяет только те значения параметра а, при которых оператор Аа является непрерывно обратимым.
Определение2: Спектром о(А) оператора А называется множество всех тех а, при которых оператор Аа не имеет ограниченного обратного.
Таким образом комплексная плоскость С представляется в виде дизъюнктивного объединения резольвентного множества и спектра оператора А
Теорема1: Резольвентное множество линейного ограниченного оператора А из Х в Х является открытым неограниченным множетсвом.
Доказательство: Сначала докажем, что р(А) – неограниченное множество. Произвольно зафиксируем а такое, что оно по модулю больше нормы А. Докажем, что соотв. Оператор Аа обратим. Это и будет означать, чтозначение а – неограниченное множество.
Полагая что А не нулевой имеем аI-A=a(I-1/aA) обратимость этого оператора следует из выполнения условия ||A/a||<1 или ||A||/|a|<1
Для доказательства открытости зафиксируем а0 и покажем, что а0 вместе с некоторой своей окрестностью лежит в p.
Пусть а0 в р и рассмотрим равенство
aI-A=(a0I-A)+(a-a0)I
в котором первое слагаемое является обратимым оператором по предположения. Сумма операторов является обратимым оператором по теореме 4, если норма второго слагаемого удовлетворяет неравенству ||(a-a0)I||<1/||(a0I-A)^-1||
Так как норма I=1 то при /a-a0/<1/||(a0I-A)^-1|| оператор Аа обратим. Следовательно резольвентное множество р является открытым.
Теорема2: Спектр о(А) любого ограниченного линейного оператора является непустым замкнутым и ограниченным.
Доказательство: спектр является дополнением резольвенты, а значит оно замкнуто(т.к. резольвента открыта). Из доказательства теоремы 1 Следует, что спектр о(А) входит в круг радиусом нормы А(a из C| |a|<=||A||) а значит спектр ограниченное множество. Теорема доказана.
В зависимости от причины необратимости оператора Аа спектр подразделяется на 3 непересекающихся подмножества. Подмножество ор(А) называется точечным спектром оператора А. Точечный спектр содержит только те значения а при которых ядро оператора Аа нетривиально. При этом уравнение ax-Ax=0 имеет хотя бы одно ненулевое решение. Такое значение а называется собственным, а соответствующие элементы собственными.
Для вполне непрерывных операторов спектр имеет достаточно простую структуру, аналогично структуре спектра матричного оператора(спектр матричного оператора в н-мерном пространстве имеет н собственных значений с учетом их кратности)
Теорема3: Спектр вполне непрерывного ограниченного оператора содержит не более чем счетное множество собтсвенных значений с единственно возможной предельной точкой а0=0
