Пусть Х,У – банаховы пространства над одним полем скаляров. А- Линейный оператор.
Предположим что ядро оператора А тривиально(состоит только из нулевого элемента)
И если выполнено условие R(A)=Y которое означает, что образом А является пространство Y. Для уравнение Ax=y это означает, что имеет место хотя бы одно решение. Оба этих условия означают единственность решения для любой правой части. А значит мы можем ввести оператор В из Y в Х, который удовлетворяет уравнению x=By и имеет единственное решение. Такой оператор называется обратный оператору А и обозначается как А^-1 Обратный оператор так же является линейным. Оператор А называется обратимым.
Теорема: Для алгебраической обратимости оператора А необходимо и достаточно выполнение в совокупности 2-х условий: 1)kerA=Q 2)R(A)=Y
Свойства обратного оператора:
- A(By)=y, любого у из Y
- B(Ax)=x, любого х из Х
Или аналогично:
- AB=Iy
- BA=Ix
Теорема: Пусть линейный ограниченный оператор А из Х в У алгебаически обратим. Тогда обратный оператор У в Х непрерывен(ограничен). Справедливо и обратное утверждение, что если оператор непрерывно обратим, то он удовлетворяет 2 условиям алгебраической обратимости.
Теорема: Если норма оператора А меньше 1, то А- обратимый оператор.
