Пусть х,у – ЛП над одним полем скаляров. И задано некоторое правило по которому в соответствие элементу х ставится элемент у.
Определение: Линейным оператором Х->Y называется оператор если верно равенство F(ax1+bx2)=aFx1+bFx2
Так же очевидно, что FQ=Q. Т.е. для нуль пространства Х соответствует нуль пространство У. Ядро оператора – Совокупность тех элементов пространства Х на которых оператор имеет нулевой образ. Ядро оператора является линейным оператором т.е. подпространством пространства Х. Инъективность оператора означает, что уравнение Ах=у имеет единственное решение. В случае если образ совпадает со всем пространством, оператор А называют сюрьективным. Сюрьективность оператора означает, что линейный оператор имеет хотя бы одно решение.
Определение: Ограниченным оператором на М называется оператор, который переводит ограниченное множество из области определения в ограниченное множество.(||Ax||<C||x||)
Геометрически это означает, что множество М является шаром радиуса С>0.
Оператор называется непрерывным в х0 если из того, что ||x0-x||->0 следует, что ||Fx0-Fx||->0 . И оператор называется непрерывным, если он непрерывен в каждом элементе множества.
Теорема: Для оператора А из Х в У непрерывность в нулевом элементе означет непрерывность на всем пространстве.
Теорема: Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда оператор ограничен.
