Это пространства в которых норма возникает естественным образом. В этих пространствах появляются дополнительные возможности связанные с определением взаимного расположения элементов. Так же пространства называются полными относительно нормы(порожденной ск. Произведением) пространствами со скалярным произведением.
Определение: Н – пр-во со скалярным произведением, если каждой паре элементов поставлено в соответствие некоторое число называемое скалярным произведением, удовлетворяющее аксиомам:
- (х,х)>=0, =0 ó х=Q
- (х,у)=(у,х)(если комплексное, тогда равно сопряженному)
- Выносится скаляр
- (х+у,z)=(x,z)+(y,z)
Всякое пространство со ск.произведением является нормированным. При этом норма определяется скалярным произведением элемента на самого себя.
Лемма: (х,у)^2<=(x,x)*(y,y) Для доказательства утверждения рассмотрим выражение (x-ay,x-ay)=(x,x)-2a(x,y)+a^2(y,y)>=0 Полученное выражение можно рассмотреть как квадратный трехчлен относительно а. И оно возможно только при D<=0.
Равенством ||х||=sqrt(x,x) на гильбертовом пространстве определяется норма. Такая норма называется порожденной скалярным произведением.
