Теорема 1.3.1. (Регулярность меры) Пусть E - ограниченное, измеримое множество. Для любого e>0 найдутся такие замкнутое множество F и открытое множество G, что справедливы включения FcEcG и неравенства
m(G)-e<=m(E)<=m(F)+e.
Утверждение теоремы непосредственно следует из определения точных верхней и нижней граней числового множества.
Теорема 1.3.2. (Инвариантность меры) Если E - измеримое множество и x принадлежит R - произвольное число, то множество х+Е измеримо, причем m(x+E)=m(E). Доказательство. Согласно теореме 1.3.1, для произвольного e>0, найдутся такие открытое множество G и замкнутое множество F, что FcEcG и m(G)-e<=m(E)<=m(F)+e.
Множества x+F и x+G являются замкнутыми и открытыми соответственно и справедливы включения. (F+х)c(E+х)c(G+х)
Теорема 1.3.3. (монотонность меры) Если E1,E2 - ограниченные измеримые множества и E1cE2, то m(E1)<=m(E2).
Теорема 1.3.4. (счетная аддитивность) Если ограниченное множество E является объединением не более чем счетного числа ограниченных измеримых множеств Ek, и эти множества попарно не пересекаются, то множество E измеримо, причем m(E)=summ(m(Ek))