1Структура открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.

Пусть  E cR - некоторое подмножество множества R. Интервал (a,b) называется составляющим интервалом множества E, если он входит в E без концов.

Лемма 1.1.1. Два составляющих интервала одного множества или не пересекаются, или совпадают. Док-во: Пусть множество E имеет два пересекающихся составляющих интервала (a,b) и (y,d), т.е. существует такое число x, что оно принадлежит обеим интервалам. Иными словами, концы интервалов удовлетворяют соотношению max(a,y)<min(b,d). Если b<d b принадлежит E. Аналогично с b>d. А значит они равны, аналогично с левыми концами. 

Теорема 1.1.1. Каждое непустое ограниченное открытое множество на прямой представимо в виде объединения не более чем счетного числа составляющих интервалов.

Доказательство. Пусть G - ограниченное непустое открытое множество. И пусть x0 принадлежит G - произвольная точка 

Теорема 1.1.2. Всякое непустое замкнутое ограниченное множество F на прямой или является отрезком, или получается из некоторого отрезка удалением не более чем счетного числа не налегающих интервалов, концы которых принадлежат множеству F.

            Отметим, что изолированные точки замкнутого множества появляются при удалении двух интервалов с общим концом.