Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

F(x,y) определена на множестве Z, которое состоит из пар (x,y) пусть +inf предельная точка x. Функция равномерно на множестве Х сходится к g(y) при x->+inf если

Пусть f(x,y) определена для любого x>a и любого y из Y. Пусть при каждом фиксированном у данная функция интегрируема на промежутке [a,+inf] т.е. сходится интеграл I(y)=∫(a->+inf)f(x,y)dx. Этот интеграл сходится равномерно по параметру у на множестве Y, если функция f(t,y)=∫(a->t)f(x,y)dx  равномерно сходится к I(y).

Критерий коши:Свойства: 1) Пусть при любом b>a f(x,y) равномерно сходится к g(x) на [a,b] при y->y0. I(y) сходится равномерно на Y тогда модно сделать предельный переход.  limI(y)=∫lim(f(x,y)dx)=∫g(x)dx

2)Пусть f(x,y) как функция 2х переменных непрерывна при x>a  и y из [c,d] . Интеграл I(y) равномерно сходится на [c,d], тогда I(y) непрерывно на [c,d]

3)Пусть f(x,y) непрерывная при x>a y из [c,d] пусть I(y) непрерывная по у на [c,d] тогда если f(x,y) не отрицательная, то интеграл равномерно сходится по у

4) Пусть f(x,y) непрерывно при x>a у из [c,d] пусть при у->у0 функция монотонно не убывая в каждой точке х по у сходится к непрерывной функции g(x) тогда если интеграл ∫g(x)dx сходится, то возможен предельный переход.

5) пусть f(x,y) сходится при x>a, y из [c,d]. Пусть ∫(c->+inf)f(x,y)dx равномерно сходится, тогда I(y) интегрируема на [c,d] и справедливо

6)Пусть f(x,y) непрерывна и не отрицательна при a<x<+inf,c<y<+inf. Пусть I(y) Непрерывен на полупрямой. А интеграл K(x) непрерывен на своей полупрямой. Тогда из сходимости одного из интегралов следует сходимость другого

7)Функция непрерывная вместе со своей производной. I(y) сходится в каждой y из [c,d]. И интеграл отпроизводной так же сходится равномерно. Тогда I(y) дифференцируема при чем I’(y)=∫f’(x,y)dx

2 род. Несобственный интеграл 2 рода называется равномерно сходящимся по параметру у если для любого t из (a,b) функция F(t,b)=∫(t->b)f(x,y)dx при t->a+0 равномерно сходится к I(y)