Пусть имеем скалярное поле, определенное U=f(M). Возьмем точку M0 и выберем направление, определяемое вектором l. Возьмем точку M таким образом, чтобы M0M||l. Длина M0M обозначим как дельта l приращение функции соответствует перемещению Δl. Рассмотрим ΔU/Δl=(f(M)-f(M0))/Δl.
Отношение определяет среднюю скорость изменения скалярного поля на единицу длины, по направлению l. Δl->0 таким образом, чтобы ММ0||l Если при стремлении l к 0 существует конечный предел отношения, то он называется производной функции u в точке М0 по направлению l.Определение не связано с выбором СК и носит инвариантный характер.
В декартовой СК: Дана функция F(x,y,z) Пусть она дифференцируема в точке M и M0 полное прирощение функции: ΔU=f(x0+Δx, y0+Δy, z0+Δz)-f(x0,y0,z0)=dU/dx|m0 Δx +dU/dy|m0 Δy+dU/dz|m0 Δz+e Δl
e->0, Δl=sqrt(Δx^2+ Δy^2+ Δz^2) При пределе с Δl->0 получаем:
ΔU/Δl=dU/dx|m0 cos(a) +dU/dy|m0 cos(b) +dU/dz|m0 cos(c)
L:l/|l|=[cosa.cosb,cosc] сумма квадратов косинусов равна единице. Т.к. m->M0 оставаясь на этом векторе ||l углы постоянны => dU/dl|m0=dU/dx|m0 cos(a) +dU/dy|m0 cos(b) +dU/dz|m0 cos(c)
