Все реальные колебания являются затухающими. Энергия механических колебаний постепенно расходуется на работу против сил трения и амплитуда колебаний постепенно уменьшается (затухает).
Во многих случаях в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях силы, вызывающие затухание колебаний, пропорциональны величине скорости (например маятник).
Запишем второй закон Ньютона для затухающих прямолинейных колебаний вдоль оси x:
Ma=-kx-rv , где где kx – возвращающая сила, rυx – сила трения. Это уравнение можно переписать заменив ускорение и скорость через дифференцирование по t
отсюда следует: d^2x/dt+r/m(dx/dt)+k/mx=0
Тогда однородное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающее колебательное движение, запишем так:
d^2x/dt+2b(dx/dt)+w^2x=0
Решением этого уравнения будет x=AoE^(-bt)cos(wt-ф0)
Взяв от этого 1 и 2 производные и подставив в уравнение найдем частоту w=sqrt(w0^2-b^2)
19)
