: 1)Всякая сходящаяся ЧП ограничена, обратное неверно. Доказательство: Lim(n->inf) x=a <=> для любого eps>0 существует n’ для любого n≥n’ такой, что |xn-a|<eps, если мы обозначим К максимальное (x1…|a-e|,|a+e|) то для любого n x(n)≤k. Доказательство обратного: На примере x(n)=(-1)^n. Допустим, x(n) имеет предел А тогда по определению получим, n=2k-1 |-1-a|<e; n=2k |1-a|<е. Пусть e=0.5, тогда подставив и сложив: 2=1+1=1-a+a+1<1.
2)Всякие числовые последовательности имеют не более одного предела. Док-во: Пусть последовательность имеет два различных предела. Если окрестности одного предела бесконечно много членов последовательности, то в окрестности другого предела будет их конечное число, что несоответствует определению предела.
