Одним из основных методов исследования нелинейных систем является метод линеаризации или, иначе говоря, метод исследования устойчивости по линейному приближению. Данный метод называют первым методом Ляпунова исследования нелинейной системы на устойчивость её неподвижных точек. В его основе лежит теорема о линеаризации, устанавливающая связь фазового портрета нелинейной системы в окрестности некоторой неподвижной точки с фазовым портретом её линеаризации.
Теорема. Пусть нелинейная система
 |
имеет неподвижную точку 
. Тогда в окрестности этой неподвижной точки фазовые портреты этой системы и её линеаризации качественно эквивалентны, если только неподвижная точка не является центром.
Иначе говоря, если корни характеристического многочлена линеаризованной системы имеют действительную часть, отличную от нуля, то фазовые портреты нелинейной системы и её линеаризации качественно эквивалентны в окрестности неподвижной точки. Таким образом, центр - единственное исключение теоремы о линеаризации, не позволяющее судить о типе неподвижной точки нелинейной системы по её линеаризации без дополнительных исследований. Ниже мы проиллюстрируем это на двух примерах, предложенных Пуанкаре, но сначала рассмотрим способ линеаризации нелинейной системы.
