тетрадь
Формирование эффективных уравнений динамики манипуляционных роботов, которые могут быть рассчитаны на ЭВМ за минимальное время, является одной из важнейших задач в робототехнике. Ее решение необходимо для моделирования динамики манипуляторов в масштабе реального времени, для разработки эффективных алгоритмов управления роботами с учетом динамики [1], для повышения эффективности исследования и разработки манипуляторов.
Одни из первых результатов в этой области принадлежат Кейну [2] и Виттенбургу [3]. Полученные ими уравнения справедливы не только для роботов, но и для более широкого класса систем, состоящих из шарнирно связанных твердых тел. В дальнейшем было разработано большое количество алгоритмов формирования динамических уравнений манипуляторов, в которых использовались различные способы описания кинематики, расчета кинематических и динамических величин, а также различные формы уравнений динамики системы тел.
Описание кинематики – это способ задания систем координат, связанных со звеньями манипулятора, и выбора параметров, которые однозначно определяют взаимное положение звеньев и конфигурацию всего манипулятора. В представлении Денавита-Хартенберга [4] начала систем координат расположены в шарнирах, а их оси формируются по правилам, которые определяются кинематикой манипулятора. В другом методе описания кинематики [5-7] локальные системы координат привязаны к центрам масс звеньев, а их оси направлены вдоль главных осей инерции. Параметры, определяемые относительно таких систем координат, удобны для динамического анализа. В настоящей работе используется метод последовательного формирования систем координат, предложенный в [8] (его описание приводится в разделе 2).
Еще одной характеристикой методов математического моделирования манипуляторов является способ расчета кинематических и динамических величин, определяющих математическую модель манипулятора. Для этого используются однородные координаты и матрицы преобразования координат размерности 4x4, определяющие относительное положение и ориентацию звеньев манипулятора [9-11]; матрицы поворотов размерности 3x3 и вектора относительных перемещений [9, 12, 13]; формулы Родриго (впервые применены в [7], далее использовались в [5, 14, 15]); ортогональные тензоры [16]; кватернионы [17]; метод векторных параметров с использованием групп Ли [18, 19].
Хотя вычислительная эффективность того или иного метода формирования динамических уравнений зависит в первую очередь от особенностей его реализации (использования рекурсивных преобразований, динамических аналогий и др.), можно отметить и существенную роль выбора подходящего способа расчета модели манипулятора. Например, матрицы преобразования однородных координат размерности 4x4, обладающие универсальностью в кинематическом описании, практически не используются в задачах реального времени из-за больших вычислительных затрат, необходимых для выполнения операций над ними [1]. В то же время, использование матриц поворотов размера 3x3 позволяет получить эффективные алгоритмы расчета кинематики и динамики, что показано в [1, 9] и в данной работе. Эффективно использование кватернионов, ортогональных тензоров (с их помощью получен самый быстрый алгоритм решения обратной задачи динамики [16]), однако в ряде задач (например, при управлении в декартовых осях, [20]) предпочтительнее использовать матричные представления.
При выводе уравнений динамики манипуляторов используются различные законы и формулировки общих уравнений динамики систем. Среди них можно выделить методы, основанные на уравнениях Лагранжа, Ньютона-Эйлера, Д'Аламбера, Гаусса, Аппеля, Кейна.
