Уравнения динамики движения реального манипулятора могут быть получены двумя традиционными методами
- Лагранжа – Эйлера
- Ньютона – Эйлера.
На основе использования известных законов ньютоновской или лагранжевой механики и строится динамическая модель манипулятора. Результат применения обоих этих законов - уравнения, которые связывают действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев. посредством этих методов получен ряд различных форм уравнения движения, эквивалентных в том смысле, что они описывают динамику движения одной и той же физической системы.
С целью получения более эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов можно использовать уравнения Ньютона – Эйлера: вывод уравнений движения манипулятора методом Ньютона – Эйлера прост по содержанию, но весьма трудоемок. В результате вычислений, проведённых этим способом, мы получим систему прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям манипулятора. Низкая вычислительная эффективность уравнений Лагранжа – Эйлера вызвана тем, что для описания кинематической цепи используются матрицы преобразования однородных координат.
С помощью прямых уравнений последовательно от основания к схвату вычисляются кинематические характеристики движения звеньев, такие, как линейные и угловые скорости и ускорения, линейные ускорения центров масс звеньев. В свою очередь обратные уравнения позволяют последовательно от схвата к основанию вычислить силы и моменты, действующие на каждое из звеньев.
Наиболее важный результат такого подхода состоит в том, что время, необходимое для вычисления обобщенных сил и моментов прямо и пропорционально числу сочленений, но не зависит от реализующейся в процессе движения конфигурации манипулятора, что позволяет реализовывать простые законы управления манипулятором в реальном времени. Вообще, уравнения Ньютона – Эйлера обладают большей вычислительной эффективностью, что связано с их рекуррентной природой, но такие рекуррентные уравнения не обладают “аналитичностью”, столь полезной при синтезе управления в пространстве состояний. Для синтеза законов управления желательно иметь в распоряжении замкнутую систему дифференциальных уравнений, точно описывающих динамику движения манипулятора.
В рамках предположения о том, что звенья представляют собой твердые тела подход, связанный с методом Лагранжв-Эйлера приводит в общем случае к системе нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, обеспечивающим строгое описание динамики состояния манипулятора и могут быть использованы для разработки усовершенствованных законов управления в пространстве присоединенных переменных. В меньшей степени они используются для решения прямой и обратной задач динамики:
- Прямая задача состоит в том, чтобы по заданным силам и моментам определить обобщенные ускорения, интегрирование которых позволяет получить значения обобщенных координат и скоростей.
- Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщенным координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты.
Для построения модели динамики переходных процессов и дальнейшего анализа полученных уравнений необходима аналитическая форма, следовательно, решено использовать для получения уравнений динамики метод Лагранжа – Эйлера, тем более вывод уравнений динамики движения манипулятора методом Лагранжа – Эйлера отличается простотой и единством подхода.
