Переход от одной координатной системы к другой. Проективное пространство

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой системы координат. Координаты точки изменятся, если мы выберем другую систему координат.

Задача преобразования координат состоит в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат, найти ее координаты в другой системе.

Эта задача будет разрешена, если мы установим формулы, связывающие координаты произвольной точки по двум системам, причем в коэффициенты этих формул войдут постоянные величины, определяющие взаимное положение систем.

Пусть даны две декартовы системы координат хОу и XO1Y (рис. 68).

Положение новой системы XO1Y относительно старой системы хОу будет определено, если известны координаты а и b нового начала O1 по старой системе и угол α между осями Ох и О1Х. Обозначим через х и у координаты произвольной точки М относительно старой системы, через X и Y—координаты той же точки относительно новой системы. Наша задача заключается в том, чтобы старые координаты х и увыразить через новые X и Y. В полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить постоянные a, b и α.

Решение этой общей задачи мы получим из рассмотрения двух частных случаев.

1.  Меняется начало координат, направления же осей остаются неизменными (α = 0).

2.  Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (а = b = 0).

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО — пространство, полученное из евклидова пространства, дополненного несобственными (бесконечно удаленными) элементами: несобственными точками, несобственными прямыми и несобственной плоскостью. Каждая прямая дополняется только одной несобственной точкой, каждая плоскость — одной несобственной прямой и все пространство — одной несобственной плоскостью. Однако различия между собственными и несобственными (конечными и бесконечно удаленными) элементами в П. п. нет. В П. п. нет параллельных прямых и плоскостей: любые две прямые пересекаются, любая прямая и плоскость пересекаются, любые две плоскости пересекаются по прямой.