30. Экономическая интерпретация двойственной задачи линейного программирования

 
Для экономической интерпретации двойственной задачи будем полагать, например, что прямая задача - задача распределения ресурсов. Предположим, что в производстве используется k различных видов ресурсов, объем которых ограничен величинами bi. Может производиться n видов продукции, величина выпуска которых характеризуется переменными хi. Известны нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого вида продукции - аij, а также стоимостная оценка единицы продукции - сj.
Переменные величины, подлежащие определению в двойственной задаче, являются оценки yi, предписываемые каждому виду ресурсов. Они должны быть такими, чтобы общая оценка всего имеющегося количества ресурсов была минимальной, но при условии, что суммарная оценка ресурсов, расходуемых на единицу любого вида продукции, будет не меньше, чем цена за эту единицу.
С экономической стороны решение прямой задачи дает оптимальный план выпуска продукции, а решение двойственной задачи - оптимальную систему условных оценок применяемых ресурсов.
Следующая теорема устанавливает связь между решениями двух задач.
Теорема 1.9. Пусть xi*,...,хn* и у1*,...,yk* - оптимальные планы двойственных задач. Тогда
1.Если ai1,xi* +...+аinхn* < bi (i ), то уi* = 0.
2. Если уi* >0 (i),то ai1x1* +...+аinхn* =bi
Экономическое содержание: двойственные оценки не полностью используемых ресурсов всегда равны нулю; положительную двойственную оценку могут иметь лишь ресурсы, полностью используемые в оптимальном плане.
З.Если а1jy1* +...+akjyk* >сj (j ),то хj*=0.
4.Если хj* > 0 (j ),то а1jу1* +...+ akjyk* =сj.
Экономическое содержание: если по двойственным оценкам производство данной продукции убыточно, то выпускать ее нерационально и она не вошла в оптимальный план; если данный вид продукции вошел в оптимальный план, то двойственная оценка затрачиваемых ресурсов равна ее цене и производство продукции по оценкам оправдано.