Для доказательства теоремы запишем дифференциальное уравнение движения точки (основное уравнение динамики точки) в виде mdV / dt = F. Напомним, что здесь F - равнодействующая сил, приложенных к точке.
Внесем постоянную величину - m под знак производной и, разделяя переменные, получим математическую запись теоремы в дифференциальной форме:
| d(mV) = Fdt | (1) |
Произведение mV назовем количеством движения точки, произведение Fdt - элементарным импульсом силы (равнодействующей), что позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме: дифференциал от количества движения материальной точки равен элементарному импульсу сил, приложенных к точке.
Количество движения материальной точки - это векторная мера движения точки. Направление вектора количества движения точки q совпадает с направлением вектора скорости V. Единицей количества движения является кг·м/с.
Элементарный импульс силы - это векторная мера действия силы, отражающая, что действие силы зависит не только от величины и направления силы, но и от продолжительности действия силы.
Предположим, что за промежуток времени от V0 до V скорость точки изменилась от до , и при этих предположениях проинтегрируем (1). В результате получаем запись теоремы в интегральной форме:
 |
(2) |
Интеграл в правой части (2) назовем полным импульсом силы (равнодействующей) и сформулируем теорему об изменении количества движения материальной точки в интегральной форме: изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно полному импульсу сил, приложенных к точке. Заметим, что импульс силы измеряется в Н·м.
Проектируя выражения (1) и (2) на оси координат, можно получить запись теоремы в дифференциальной и интегральной формах в координатном виде, что предлагается сделать самостоятельно.
На практике теорема применяется, когда интеграл в правой части (2) можно взять, то есть когда F = F(t) или F = const.
Чаще всего теорема применяется для решения задач, когда F = 0 и имеет место закон сохранения количества движения материальной точки. В этом случае определенный интеграл в правой части (2) равен нулю и
| mV = const = mV0 | (3) |
то есть при равенстве нулю равнодействующей сил, приложенных к материальной точке, ее количество движения остается постоянным, равным своему начальному значению.
Закон сохранения имеет место и при движении вдоль одной из осей, например Ox, когда Fx = 0. В этом случае mVx = const = mV0x.
