Логика высказываний — это логическая система, которая анализирует процессы рассуждения, опираясь на истинностные характеристики логических связок и отвлекаясь от внутренней структуры суждений.
Язык логики высказываний включает: алфавит, определение правильно выстроенных выражений, интерпретацию.
Алфавит логики высказываний состоит из следующих символов.
1) Символы для высказываний: р, q, r ... (пропозициональные переменные).
2) Символы для логических связок:
л — конъюнкция (союз «и»);
V — ДИЗЪЮНКЦИЯ (СОЮЗ «ШШ»);
-> — импликация (союз «если..., то...»);
s — эквивалентность (союз «если и только если. .., то...»);
1 — отрицание («неверно, что...»). 3) Технические знаки (,) — скобки.
Допустимые в логике высказываний выражения, называемые правильно построенными формулами, или сокращенно ППФ, вводятся следующим определением:
1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r... — является ППФ.
2. Если А и В — ППФ (А и В — символы метаязыка для любых формул), то выражения — А л В, A v В, А -> В, А а В, ТА— также являются ППФ.
3. Все другие выражения, помимо предусмотренных п. 1 и 2, не являются ППФ языка логики высказываний.
Среди правильно построенных формул в зависимости от их истинностного знач ния различают тождественно истинные, тождественно ложные и выполнимые фо мулы.
Тождественно истинными называют формулы, принимающие значения истины при любых — истинных или ложных — значениях составляющих их пропозициональных переменных. Такие формулы представляют собой законы логики. *
Тождественно ложными называют формулы, принимающие значение ложности при любых — истинных или ложных — значениях пропозициональных переменных, |
Выполненными называют формулы, которые могут принимать значения истинности или ложности в зависимости от наборов значений составляющих их пропозициональных переменных.
Логика высказываний как исчисление — это прежде всего так называемая система натурального вывода (СИВ). Аппаратом в ней служат правила вывода, каждое из которых является какой-нибудь элементарной формой умозаключения. Переходя по этим правилам от посылок или некоторых допущений к новым формулам, постепенно доходят до заключения.
Основными логическими свойствами системы натурального вывода являются непротиворечивость и полнота.
Непротиворечивость означает, что из истинных посылок могут получаться только истинные следствия и если формула выводима из пустого множества посылок,^ она тождественно истинна. Это исключает возможность вывести из пустого множества посылок какую-либо формулу (А) и ее отрицание ( ТА).
Полнота системы означает, что дедуктивных ее средств достаточно, чтобы I вести из пустого множества посылок любую тождественно истинную формулу.
Логика предикатов является более обшей логической системой и включает лога высказываний как свою часть. Она располагает более эффективными логически» средствами для анализа рассуждений в естественном языке.
