Пусть фигура представляет собой сектор, заданный в полярной системе координат кривой , где - неотрицательная непрерывная кривая на отрезке . Разобьем угол на n частей лучами < <…< и обозначим (рисунок 4).
Площадь криволинейного сектора равна сумме n площадей , заданных разбиением , i = 1, 2, …, n, .
Выберем один из элементов разбиения , соответствующий сектору , и зафиксируем на этом промежутке произвольное значение . Значение функции в точке обозначим Рисунок 4
и заменим площадь криволинейного сектора круговым сектором радиуса , площадь которого . Выполним такую же операцию на каждом участке разбиения и просуммируем полученные значения.
Сумма площадей круговых секторов
представляет собой интегральную сумму , предел которой, существующий в силу непрерывности функции , равен определенному интегралу, выражающему площадь фигуры в полярных координатах
Пример.
Вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией и лучами .
Решение.
Функция положительна и непрерывна на отрезке . Для наглядности изобразим фигуру в полярной системе координат.
Эта фигура является криволинейным сектором, и мы сразу можем применить соответствующую формулу для нахождения его площади: