Пусть 
и 
- две случайные непрерывные величины, находящиеся в корреляционной зависимости. Это значит, что каждому значению x случайной величины соответствует вполне определенное распределение вероятностей величины . Плотность 
распределения величины при условии, что 
, называется условной плотностью распределения случайной величины .
Вычислим для данного случая так называемое условное математическое ожидание 
величины при условии, что . Согласно определению математического ожидания непрерывной случайной величины, имеем
[см. формулу (40)]. Каждому возможному значению x случайной величины соответствует определенное значение условного математического ожидания . Таким образом, мы получаем функцию 
переменной x. Эта функция y=f(x) называется функцией регрессии величины на , а ее график - линией регрессии на .
Аналогично определяется условное математическое ожидание величины при условии, что 
:
где 
- условная плотность вероятности случайной величины при условии, что .
Функция x=g(y) называется функцией регрессии величины на , а ее график - линией регрессии на .
Cледует иметь в виду, что функции y=f(x) и x=g(y) не являются обратными по отношению друг к другу.
Если обе функции и 
линейны, то линиями регрессии являются прямые. В этом случае говорят, что случайные величины и связаны линейной корреляционной зависимостью. Можно показать, что уравнение прямой регрессии на имеет следующий вид:
 |
(74) |
где 
- условное математическое ожидание случайной величины при . Аналогично записывается уравнение прямой регрессии на :
 |
(75) |
где 
- условное математическое ожидание случайной величины при .
Величины
 |
(76) |
называются коэффициентами регрессии соответственно на и на .
Из формул (76) следует, что
 |
(77) |
Равенство (77) показывает, что оба коэффициента регрессии имеют одинаковые знаки. Если они положительны (отрицательны), то с возрастанием аргумента возрастают (убывают) соответствующие условные математические ожидания.
Если 
, то, как следует из уравнений (74) и (75), 
и 
, т.е. в этом случае условные математические ожидания постоянны и равны соответствующим математическим ожиданиям случайных величин и .
Замечание. Можно доказать, что если система двух случайных величин имеет нормальное распределение, то эти величины находятся в линейной корреляционной зависимости.
Теория корреляции представляет собой аппарат, оценивающий тесноту связей между явлениями, которые находятся не только в причинно-следственных отношениях. С помощью теории корреляции оцениваются стохастические, но не причинные связи. Автором совместно с Лукацкой М. Л. [8] предпринята попытка получить оценки для причинных связей. Однако вопрос о причинно-следственных отношениях явлений, о том, как опознать причину и следствие, остается открытым, и кажется, что на формальном уровне он принципиально не разрешим. [1]
Теория корреляции и ее применен к анализу производства. [2]
Теория корреляции, являющаяся одним из разделов математической статистики, позволяет сделать обоснованные предположения о возможных пределах, в которых с известной степенью надежности будет находиться исследуемый параметр, если другие статистически связанные с ним параметры получат определенные значения. [3]
Теория корреляции стационарных стохастических процессов / Пер, с нем. [4]
Теорию корреляции применяют при рассмотрении особенностей и задач статистического измерения взаимосвязей процессов производства грузовых работ в прогнозируемом периоде. [5]
В теории корреляции принято выделять две основные задачи. Первая задача - установить форму корреляционной зависимости, или, как принято говорить в математической статистике, определить вид функции регрессии одной переменной ( случайной) величины по другой. [7]
И Теория корреляции и ее применение к ана - Изу производства. [8]
Аппарат теории корреляции достаточно разнообразен. [9]
