Неравенство Маркова. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство 
.
Доказательство. Расположим значения случайной величины Х в порядке возрастания так, что: 
. Математическое ожидание случайной величины примет вид: 
. Отбрасывая первые 
неотрицательных слагаемых и заменяя остальные меньшей величиной А, получим: 
или .
Пусть ставится задача: оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа 
. Если достаточно мало, то можно оценить вероятность того, что Х примет значения достаточно близкие к своему математическому ожиданию. Такая оценка была получена Чебышевым.
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа не меньше, чем 
: 
.
Доказательство. События 
и 
противоположны, тогда 
, тогда 
, т.е. надо оценить вероятность 
. Для дисперсии случайной величины Х имеем право записать:
Или 
. Тогда 
или
.
Замечание 1. Неравенство Чебышева применяется для теоретических исследований.
Замечание 2. Для случайной величины 
, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием 
и дисперсией 
.
Замечание 3. Для частоты 
наступления события в 
независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью 
, и имеющей дисперсию 
.
