пользователей: 21277
предметов: 10471
вопросов: 178106
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


21. Неравенства Маркова и Чебышёва

Неравенство Маркова. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство image585.gif.

Доказательство. Расположим значения случайной величины Х в порядке возрастания так, что: image587.gif. Математическое ожидание случайной величины примет вид: image589.gif. Отбрасывая первые image223.gifнеотрицательных слагаемых и заменяя остальные меньшей величиной А, получим: image591.gifили image585.gif.

Пусть ставится задача: оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от её математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа image593.gif. Если image593.gifдостаточно мало, то можно оценить вероятность того, что Х примет значения достаточно близкие к своему математическому ожиданию. Такая оценка была получена Чебышевым.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа image593.gifне меньше, чем image596.gifimage598.gif.

Доказательство. События image600.gifи image602.gifпротивоположны, тогда image604.gif, тогда image606.gif, т.е. надо оценить вероятность image608.gif. Для дисперсии случайной величины Х имеем право записать:

image610.gif

Или image612.gif. Тогда image614.gifили

image616.gif.

Замечание 1. Неравенство Чебышева применяется для теоретических исследований.

Замечание 2. Для случайной величины image618.gif, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием image620.gifи дисперсией image622.gifimage624.gif.

Замечание 3. Для частоты image626.gifнаступления события в image291.gifнезависимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью image628.gif, и имеющей дисперсию image630.gifimage632.gif.

 


30.06.2014; 22:09
хиты: 691
рейтинг:0
Точные науки
математика
математическая статистика
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь