Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда неравенство вида f(x)>g(x) или f(x)неравенством с одной переменной. Мн-во Х называется областью его определения.
Решить неравенство – это значит найти мн-во его решений.
Два неравенства называются равносильными, если их мн-ва решений равны.
Например:
Неравенства 2х+7>10 и 2х>3 равносильны, т.к. их мн-ва решений равны и представляют собой промежуток (2/3;∞)
Теорема 1 о равносильных неравенствах.
Теорема.
Пусть неравенство f(x)>g(x) задано на мн-ве Х и h(x) – выр-ие, определенное на том же мн-ве. Тогда неравенства f(x)>g(x)(1) и f(x)+ h(x)>g(x)+ h(x)(2) равносильны на мн-ве Х.
Док-ть.1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1=Т2
Док-во.
Пусть Т1 – мн-во решений неравенства (1), а Т2 – мн-во решений неравенства (2). Тогда неравенства (1) и (2) будут равносильны, если Т1=Т2.
-Пусть число а – корень неравенства (1). Тогда а ∈Т1, и при подстановке в неравенство (1) обращает его в истинное числовое неравенство f(a)>g(a), а выр-ие h(x) обращает в числовое выр-ие h(a). Прибавим к обеим частям истинного неравенства f(a)>g(a) числовое выр-ие h(a). Получим, согласно св-вам истинных числовых неравенств, истинное числовое неравенство f(а)+h(а)>g(а)+h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем неравенства (2). Доказано, что каждый корень неравенства (1)является корнем и неравенства (2), т.е Т1⊂Т2.
-Пусть число а – корень неравенства (2). Тогда а ∈ Т2 и при подстановке в неравенство (2) обращает его в истинное числовое неравенство f(а)+h(а)>g(а)+h(а). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выр-ие –h(а). Получим истинное числовое неравенство f(a)>g(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем неравенства (1). Доказано, что каждый корень неравенства (2) является корнем и неравенства (1), т.е Т2⊂Т1
Так как Т1⊂Т2 и Т2⊂Т1, то по определению равных мн-в Т1=Т2, а значит неравенства (1) и (2) равносильны, что и требовалось док-ть.
Следствия:
-Если к обеим частям неравенства f(x)>g(x) прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(x)+d>g(x)+d, равносильное исходному;
-Если какое-либо слагаемое (числовое выр-ие или выр-ие с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
Теорема 2 о равносильных неравенствах.
Теорема.
Пусть неравенство f(x)>g(x) задано на мн-ве Х и h(x) – выр-ие, определенное на том же мн-ве, и для всех х из мн-ва Х выражение h(x) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(x)>g(x)(1) и f(x)* h(x)>g(x)* h(x)(2) равносильны на мн-ве Х.
Док-ть.1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1=Т2
Док-во.
Пусть Т1 – мн-во решений неравенства (1), а Т2 – мн-во решений неравенства (2). Тогда неравенства (1) и (2) будут равносильны, если Т1=Т2.
-Пусть число а – корень неравенства (1). Тогда а ∈Т1, и при подстановке в неравенство (1) обращает его в истинное числовое неравенство f(a)>g(a), а выр-ие h(x) обращает в числовое выр-ие h(a), при h>0. Умножим оби части истинного неравенства f(a)>g(a) на числовое выр-ие h(a). Получим, согласно св-вам истинных числовых неравенств, истинное числовое неравенство f(а)*h(а)>g(а)*h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем неравенства (2). Доказано, что каждый корень неравенства (1)является корнем и неравенства (2), т.е Т1⊂Т2.
-Пусть число а – корень неравенства (2). Тогда а ∈ Т2 и при подстановке в неравенство (2) обращает его в истинное числовое неравенство f(а)*h(а)>g(а)*h(а). Поделим оби части этого неравенства на числовое выр-ие h(а), h>0. Получим истинное числовое неравенство f(a)>g(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем неравенства (1). Доказано, что каждый корень неравенства (2) является корнем и неравенства (1), т.е Т2⊂Т1
Так как Т1⊂Т2 и Т2⊂Т1, то по определению равных мн-в Т1=Т2, а значит неравенства (1) и (2) равносильны, что и требовалось док-ть.
Теорема 3 о равносильных неравенствах.
Теорема.
Пусть неравенство f(x)>g(x) задано на мн-ве Х и h(x) – выр-ие, определенное на том же мн-ве, и для всех х из мн-ва Х выражение h(x) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(x)>g(x)(1) и f(x)* h(x)
Док-ть.1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1=Т2
Док-во.
Пусть Т1 – мн-во решений неравенства (1), а Т2 – мн-во решений неравенства (2). Тогда неравенства (1) и (2) будут равносильны, если Т1=Т2.
-Пусть число а – корень неравенства (1). Тогда а ∈Т1, и при подстановке в неравенство (1) обращает его в истинное числовое неравенство f(a)>g(a), а выр-ие h(x) обращает в числовое выр-ие h(a), при h<0. Умножим оби части истинного неравенства f(a)>g(a) на числовое выр-ие
-h(a). Получим, согласно св-вам истинных числовых неравенств, истинное числовое неравенство f(а)*h(а)
-Пусть число а – корень неравенства (2). Тогда а ∈ Т2 и при подстановке в неравенство (2) обращает его в истинное числовое неравенство f(а)*h(а)g(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем неравенства (1). Доказано, что каждый корень неравенства (2) является корнем и неравенства (1), т.е Т2⊂Т1
Так как Т1⊂Т2 и Т2⊂Т1, то по определению равных мн-в Т1=Т2, а значит неравенства (1) и (2) равносильны, что и требовалось док-ть.
