пользователей: 21219
предметов: 10452
вопросов: 177398
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ


22 Равносильные уравнения и теоремы о них. Уравнения и неравенства в начальном курсе математики и способы их решения.:)

Два ур-ия  f1(x)=g1(x) и f2(x)=g2(x)называются равносильными, если мн-ва их корней совпадают

Например:

 Уравнения  х2-9=0 и (2х+6)(х-3)=0 равносильны, т.к. оба имеют своими корнями числа 3 и -3.

Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.

Теорема 1 о равносильных уравнениях (док-во), следствия из теоремы.

Теорема. Пусть ур-ие f(x)=g(x)задано на мн-ве Х и h(x) – выражение, определенное на том же мн-ве. Тогда ур-ия f(x)=g(x)(1) и f(x)+h(x)=g(x)+h(x)(2) равносильны.

(если к обеим частям ур-ия с областью определения Х прибавить одно и тоже выражение с переменной, определенное на том же мн-ве, то получим новое ур-ие, равносильное данному)

Док-ть.1)  Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1=Т2

Док-во.

Пусть Т1 – мн-во решений ур-ия (1), а Т2 – мн-во решений ур-ия (2). Тогда ур-ия (1) и (2) будут равносильны, если Т1=Т2.

-Пусть число а – корень ур-ия (1). Тогда а ∈Т1, и при подстановке в ур-ие (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a)=g(a), а выражение h(x) обращает в числовое выражение h(a). Прибавим к обеим частям истинного равенства f(a)=g(a) числовое выражение h(a). Получим, согласно св-вам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(а)+h(а)=g(а)+h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем ур-ия (2). Доказано, что каждый корень ур-ия (1)является корнем и ур-ия (2), т.е. Т1⊂Т2.

-Пусть число а – корень ур-ия (2). Тогда а ∈ Т2 и при подстановке в ур-ие (2) обращает его в истинное числовое равенство f(а)+h(а)=g(а)+h(а). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выр-ие –h(а). Получим истинное числовое равенство f(a)=g(a), которое свидетельствует о том, что число  а является корнем ур-ия (1). Доказано, что каждый корень ур-ия (2) является корнем и ур-ия (1), т.е Т2⊂Т1

Так как Т1⊂Т2 и  Т2⊂Т1, то по определению равных мн-в Т1=Т2, а значит ур-ия (1) и (2) равносильны, ч.т.д.

Следствия:

-Если к обеим частям ур-ия прибавить одно и то же число, то получим ур-ие, равносильное данному.

-Если какое-либо слагаемое (числовое выр-ие или выр-ие с переменной) перенести из одной части ур-ия в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим ур-ие, равносильное данному.

Теорема 2 о равносильных уравнениях (док-во)

Теорема. Пусть ур-ие f(x)=g(x)задано на мн-ве Х и h(x) – выражение, определенно на том же мн-ве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из мн-ва Х. Тогда ур-ия f(x)=g(x)(1) и f(x)*h(x)=g(x)*h(x)(2) равносильны.

Док-ть: 1)  Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1=Т2

Док-во. Т1 – мн-во решений ур-ия (1), Т2 – мн-во решений ур-ия (2). Тогда ур-ия (1) и (2) будут равносильны, если Т1=Т2.

-Пусть число а – корень ур-ия (1). Тогда а ∈Т1, и при подстановке в ур-ие (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a)=g(a), а выр-ие h(x) обращает в числовое выр-ие h(a). Умножим оби части истинного равенства f(a)=g(a) на числовое выр-ие h(a). Получим, согласно св-вам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(а)*h(а)=g(а)*h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем ур-ия (2). Доказано, что каждый корень ур-ия (1)является корнем и ур-ия (2), т.е. Т1⊂Т2.

-Пусть число а – корень ур-ия (2). Тогда а ∈ Т2 и при подстановке в ур-ие (2) обращает его в истинное числовое равенство f(а)*h(а)=g(а)*h(а). Поделим оби части этого равенства на числовое выр-ие –h(а). Получим истинное числовое равенство f(a)=g(a), которое свидетельствует о том, что число  а является корнем ур-ия (1). Доказано, что каждый корень ур-ия (2) является корнем и ур-ия (1), т.е. Т2⊂Т1

Так как Т1⊂Т2 и  Т2⊂Т1, то по определению равных мн-в Т1=Т2, а значит ур-ия (1) и (2) равносильны, что и требовалось док-ть.

Чтобы решить уравнение и неравенство нужно воспользоваться св-вами числовых равенств и неравенств:

(прибавить или умножить на 1 и то же число, у неравенств умножить на отрицательное число, но тогда поменять знак неравенства)


23.06.2014; 18:14
хиты: 208
рейтинг:0
Точные науки
математика
алгебра
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь