Два ур-ия f1(x)=g1(x) и f2(x)=g2(x)называются равносильными, если мн-ва их корней совпадают
Например:
Уравнения х2-9=0 и (2х+6)(х-3)=0 равносильны, т.к. оба имеют своими корнями числа 3 и -3.
Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.
Теорема 1 о равносильных уравнениях (док-во), следствия из теоремы.
Теорема. Пусть ур-ие f(x)=g(x)задано на мн-ве Х и h(x) – выражение, определенное на том же мн-ве. Тогда ур-ия f(x)=g(x)(1) и f(x)+h(x)=g(x)+h(x)(2) равносильны.
(если к обеим частям ур-ия с областью определения Х прибавить одно и тоже выражение с переменной, определенное на том же мн-ве, то получим новое ур-ие, равносильное данному)
Док-ть.1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1=Т2
Док-во.
Пусть Т1 – мн-во решений ур-ия (1), а Т2 – мн-во решений ур-ия (2). Тогда ур-ия (1) и (2) будут равносильны, если Т1=Т2.
-Пусть число а – корень ур-ия (1). Тогда а ∈Т1, и при подстановке в ур-ие (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a)=g(a), а выражение h(x) обращает в числовое выражение h(a). Прибавим к обеим частям истинного равенства f(a)=g(a) числовое выражение h(a). Получим, согласно св-вам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(а)+h(а)=g(а)+h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем ур-ия (2). Доказано, что каждый корень ур-ия (1)является корнем и ур-ия (2), т.е. Т1⊂Т2.
-Пусть число а – корень ур-ия (2). Тогда а ∈ Т2 и при подстановке в ур-ие (2) обращает его в истинное числовое равенство f(а)+h(а)=g(а)+h(а). Прибавим к обеим частям этого равенства числовое выр-ие –h(а). Получим истинное числовое равенство f(a)=g(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем ур-ия (1). Доказано, что каждый корень ур-ия (2) является корнем и ур-ия (1), т.е Т2⊂Т1
Так как Т1⊂Т2 и Т2⊂Т1, то по определению равных мн-в Т1=Т2, а значит ур-ия (1) и (2) равносильны, ч.т.д.
Следствия:
-Если к обеим частям ур-ия прибавить одно и то же число, то получим ур-ие, равносильное данному.
-Если какое-либо слагаемое (числовое выр-ие или выр-ие с переменной) перенести из одной части ур-ия в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим ур-ие, равносильное данному.
Теорема 2 о равносильных уравнениях (док-во)
Теорема. Пусть ур-ие f(x)=g(x)задано на мн-ве Х и h(x) – выражение, определенно на том же мн-ве и не обращается в нуль ни при каких значениях х из мн-ва Х. Тогда ур-ия f(x)=g(x)(1) и f(x)*h(x)=g(x)*h(x)(2) равносильны.
Док-ть: 1) Т1⊂Т2; 2) Т2⊂Т1; 3) Т1=Т2
Док-во. Т1 – мн-во решений ур-ия (1), Т2 – мн-во решений ур-ия (2). Тогда ур-ия (1) и (2) будут равносильны, если Т1=Т2.
-Пусть число а – корень ур-ия (1). Тогда а ∈Т1, и при подстановке в ур-ие (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a)=g(a), а выр-ие h(x) обращает в числовое выр-ие h(a). Умножим оби части истинного равенства f(a)=g(a) на числовое выр-ие h(a). Получим, согласно св-вам истинных числовых равенств, истинное числовое равенство f(а)*h(а)=g(а)*h(а), которое свидетельствует о том, что число а является корнем ур-ия (2). Доказано, что каждый корень ур-ия (1)является корнем и ур-ия (2), т.е. Т1⊂Т2.
-Пусть число а – корень ур-ия (2). Тогда а ∈ Т2 и при подстановке в ур-ие (2) обращает его в истинное числовое равенство f(а)*h(а)=g(а)*h(а). Поделим оби части этого равенства на числовое выр-ие –h(а). Получим истинное числовое равенство f(a)=g(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем ур-ия (1). Доказано, что каждый корень ур-ия (2) является корнем и ур-ия (1), т.е. Т2⊂Т1
Так как Т1⊂Т2 и Т2⊂Т1, то по определению равных мн-в Т1=Т2, а значит ур-ия (1) и (2) равносильны, что и требовалось док-ть.
Чтобы решить уравнение и неравенство нужно воспользоваться св-вами числовых равенств и неравенств:
(прибавить или умножить на 1 и то же число, у неравенств умножить на отрицательное число, но тогда поменять знак неравенства)
