Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (док-ва)
Теоремы часто формулируются в виде импликаций: если А(х), то В(х) для каждого х, т.е. (∀х ∈ Х) А(х)⟶В(х), где х∈Х
Теорема состоит из:
- условия теоремы (предикат А(х))
- заключения теоремы (предикат В(х))
По отношению к теореме А(х)⟶В(х) можно сформулировать теорему:
- обратную данной В(х)⟶А(х)
- противоположную данной А(х)⟶В(х)
- обратную противоположной В(х)⟶А(х)
Пример. Теорема: «Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник – параллелограмм».
Условие: «в четырехугольнике х две противоположные стороны равны и параллельны»
Заключение: «четырехугольник х – параллелограмм»
Обратная теорема: «если четырехугольник х – параллелограмм, то в четырехугольники две противоположные стороны равны и параллельны»
Противоположная данной: «если в четырехугольники х две противоположные стороны не равны и не параллельны, то четырехугольник х не параллелограмм»
Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
Основой мат док-ва является дедуктивный вывод.
А само док-во – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.
По форме различают:
-прямые (основываясь на некотором истинном предложении и с учетом условия теоремы, строится цепочка дедуктивных умозаключений, которая приводит к истинному заключению)
-косвенные (док-во методом от противного: допускают, что заключение ложно, а следовательно, его отрицание истинно. Присоединив В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе док-ва, строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок, в частности, условию А)
