Дизъюнкцией 2 предикатов Р(х) и Q(х) называется сложный предикат Р(х) V Q(х), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях переменной, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь», и значение «истина» во всех остальных случаях.
Дизъюнкцией 2 предикатов Р(х) и Q(х) называется логическая операция, результатом которой является сложный предикат Р(х) Ʌ Q(х), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях переменной, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь», и значение «истина» во всех остальных случаях.
Теорема:
Мн-во истинности дизъюнкции предикатов является объединение множеств истинности дизъюнкции предикатов
ТА(х)∨ТВ(х)=ТА(х)∪ТВ(х)
Д-ть: 1) ТА∨В⊂ТА∪ТВ 2) ТА∪ТВ⊂ ТА∨В
Док-во: 1) пусть а – любое число из мн-ва Х, а ∈ Х и а ∈ ТА∨В
По определению предикат А(х)∨В(х) - «истинное» высказывание при х = а, т.е. А(а)∨В(а) – «истина»
Если А(а) – «и», В(а) – «и» ⟹ а ∈ ТА и а ∈ ТВ⟹ а ∈ ТА∪ТВ
Если А(а) – «л», В(а) – «и» ⟹ а ∈ ТА и а ∈ ТВ⟹ а ∈ ТА∪ТВ
Если А(а) – «и», В(а) – «л» ⟹ а ∈ ТА и а ∈ ТВ⟹ а ∈ ТА∪ТВ
Т.к. а – любой эл. из ТА∨В, то все эл. мн-ву ТА∪ТВ ⟹ ТА∨В⊂ТА∪ТВ
2) пусть в – любое число из мн-ва Х, в ∈ Х и в ∈ ТА∨В
в ∈ ТА и в ∈ ТВ ⟹ А(в) и В(в) – «истинное» высказывания, по этому дизъюнкция высказываний А(в)∨В(в) – «и», т.е. в∈ ТА∨В ⟹ ТА∪ТВ⊂ ТА∨В
Из пунктов 1 и 2 в силу определения равных мн-в следует справедливость равенства ТА(х)∨ТВ(х)=ТА(х)∪ТВ(х), ч.т.д.
