Теоретические распределения - это хорошо изученные в теории распределения, представляющие собой зависимости между плотностями распределения и значениями признака, отражающие закономерности распределения. Они описываются статистическими функциями, параметры которых вычисляются по статистическим характеристикам изучаемой совокупности.
Теоретическое распределение в этом случае является некоторой идеализированной моделью эмпирического распределения, и анализ вариационного ряда сводится к сопоставлению эмпирического и теоретического распределений и определению различий между ними.
В статистической практике наиболее широко используют следующие теоретические распределения: •
Биномиальное распределение - для описания распределения дискретного альтернативного признака. Оно представляет собой распределение вероятности исходов события, которые можно оценить как положительные или отрицательные. •
Распределение Пуассона - для изучения маловероятных событий в большой серии независимых испытаний (объем совокупностей n > 100, доля единиц, обладающих данным признаком q < 0,1). Например, количество бракованных деталей в массовом производстве, число отказов автоматических линий - т.е. в статистическом контроле. Вероятность появления таких событий подчиняется Pn закону Пуассона - «закону редких событий»:
nn -Л
P - Л •e
n n! '
где Pn - вероятность события при одном испытании;
n - частота данного события
Л — n • p - среднее число появления события в одинаковых условиях;
e — 2,72 - основание натурального логарифма.
Распределение Пуассона обычно применяется в статистическом контроле качества в массовом производстве. •
Распределение Максвелла применяется при исследовании признака, для которого заранее известно, что распределение имеет положительную асимметрию. Чаще всего Распределение Максвелла используется при описании технологических характеристик производственных процессов. •
Распределение «Стьюдента» применяют для описания распределения
ошибок в малых выборках (n <30).
Плотность распределения ошибок малой выборки определяется как: k+1
Р, — A •
( ,2
1 + —
k где t — —x -_ - отношение Стьюдента, S •л/ n -1
S— выборочное среднее квадратическое отклонение,
~ - выборочная средняя;
K=n-1- число степеней свободы при определении выборочной дисперсии,
( k +1 A — v
k2 'j^f^k ?
у - значение Y^ функции.
Распределение Стьюдента используется только при оценке ошибок выборок, взятых из генеральной совокупности с нормальным распределением признака.
• Нормальное распределение (распределение Гаусса) применяется для описания распределения признаков, на которые действуют множество независимых факторов, среди которых нет доминирующих.
Функция нормального распределения выглядит следующим
образом: 2ст
(x-x )2
P'(x) = ?
ст •42л '
где р'( x) - относительная плотность распределения (ордината кривой нормального распределения);
п=3,14, e = 2,72 - математические константы; x - среднее значение признака в распределении; о- среднее квадратическое отклонение.
Для конкретного распределения среднее значение признакаx и среднее квадратическое отклонение о являются постоянными величинами. Графически нормальное распределение может быть представлено в
виде симметричной колоколообразной кривой (рис. 5.6):
Рис. 5.6. Нормальное распределение
X К основным свойствам кривой нормального распределения относятся:
•_ кривая распределения является одновершинной; координаты формат: Список
вершины -