Пусть на плоскости заданы две точки ,. - прямолинейный направленный отрезок. Найдем координаты произвольной, внутренней точки A через координаты конца и начала этого направленного отрезка.
=(,)
=(,)
Т.к. данные векторы одинаково направлены, то
=t*, где 0
Иначе, переходя к координатной форме
= t * ()
= t * ()
= (1-t)*+t *
=(1-t)*+t*
Обозначим 1 - t = λ , t = λ
(1) = λ* + λ*, где λ, λ,
= λ*+ λ*, λ+ λ=1 (3)
(2) A = λ*+ λ*,
(3) λ, λ, λ+ λ=1
Df: Точка А называется выпуклой линейной комбинацией точек и , если А, , связаны соотношением (1) при выполнении условий (3).
Отрезок состоит из точек являющихся выпуклой комбинацией концов.
Df: Точки, называются угловыми или крайними.
Из Df выпуклой линейной комбинации точек видно, что угловая точка не может быть представлена как выпуклая линейная комбинация двух других точек отрезка.
Соотношения (2) и (3) верны независимо от размерности пространства.
Пусть имеется n точек: ….
Точка А есть выпуклая линейная комбинация, если
А= λ*+ λ*+…+ λ*,
где λ, j = 1…n,
Df: Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию (т.е. отрезок их соединяющий)
М- выпукло,
N – нет.
Примеры выпуклых множеств: прямая, отрезок прямой, полуплоскость, круг, шар, куб, подпространство и т.д.
Df: Точка множества называется граничной, если любой шар сколь угодно малого радиуса с центром в этой точке содержит как точки принадлежащие, так и не принадлежащие ему. Граничные точки образуют границу.
Df: Замкнутым называется множество содержащее все свои граничные. Замкнутое множество может быть ограниченным и неограниченным.
Df: Множество называется ограниченным, если существует шар конечного радиуса с центром в любой точке множества, которое полностью содержит в себе данное множество, в противном случае множество неограниченно.
Пересечение выпуклых множеств, есть выпуклое множество.
F, F - выпуклы, F = F F
Возьмем в F произвольные точки F и F и соединим отрезком. Отрезок AA F, F, так как они выпуклые множества, этот же отрезок и F, так как это пересечение F и F F – выпукло.
Df: Угловыми точками выпуклого множества, называются точки не являющиеся комбинацией двух различных точек плоскости.
Например, угловыми точками треугольника являются его вершины. Для круга – точки окружности, его ограничивающей.
Таким образом, выпуклое множество может иметь как конечное, так и бесконечное число угловых точек.
Не будут иметь угловых точек – прямая, плоскость, полуплоскость, подпространство.
Df: Выпуклым многоугольником называется выпуклое замкнутое ограниченное множество на плоскости, имеющее конечное число угловых точек. Угловые точки – его вершины. Отрезки, соединяющие две вершины – рёбра.
Df: Опорной прямой выпуклого многоугольника называется прямая, имеющая с многоугольником, расположенным по одну от неё сторону хотя бы одну общую точку.
M, АВ – ОПОРНЫЕ
Df: Выпуклым многогранником называется выпуклое замкнутое ограниченное множество в трехмерном пространстве, имеющее конечное число угловых точек. Ограниченные выпуклые многоугольники – грани. Опорной является плоскость с теми же условиями, что и прямая.
Теорема.(*) Замкнутый, ограниченный выпуклый многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек.
Доказательство.
Рассм. многоугольник, имеющий n вершин. Докажем, что любая точка треугольника удовлетворяет теореме. Возьмём произвольную точку А, проведём через неё отрезок АА. Так как А она выпуклая линейная комбинация его концов, т. е.
(*) А = , где,>0, + = 1
A= , где, ,, +=1
Подставляя получим.
Обозначим = λ, = λ, =λ, λ, i:= 1,2,3
, + +=1
Т.е. A – выпуклая линейная комбинация
В выпуклом многоугольнике, n>3 возьмём произвольную точку А. С помощью диагонали, проведенной из первой вершины, разобьём многоугольник на n-2 треугольника, точка А попадет в одну из них и без ограничений общности точка А будет выпуклой комбинацией трех вершин, а значит , λ, j:=1…n,
Т.е. А – выпуклая линейная комбинация угловых точек. Доказано
