пользователей: 21212
предметов: 10450
вопросов: 177346
Конспект-online
зарегистрируйся или войди через vk.com чтобы оставить конспект.
РЕГИСТРАЦИЯ ЭКСКУРСИЯ

47.Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции, основные теоремы о выпуклых функциях.

Пусть на плоскости заданы две точки  ,. - прямолинейный направленный отрезок. Найдем координаты произвольной, внутренней точки A через координаты конца и начала этого направленного отрезка.

=(,)
=(,)
Т.к. данные векторы одинаково  направлены, то 
=t*, где 0
Иначе, переходя к координатной форме 
= t * ()
= t * ()
= (1-t)*+t *                                 
=(1-t)*+t*                                      
Обозначим 1 - t = λ , t = λ
(1) = λ* + λ*, где λ, λ,  
      = λ*+ λ*,        λ+ λ=1    (3)         

 (2) A = λ*+ λ*,
 (3) λ, λ,  λ+ λ=1

Df: Точка А называется выпуклой линейной комбинацией точек и , если А, , связаны     соотношением  (1) при выполнении условий (3).
Отрезок   состоит из точек являющихся выпуклой комбинацией концов. 
Df: Точки, называются  угловыми или крайними. 
Из Df  выпуклой линейной комбинации точек видно, что угловая точка не может быть представлена как выпуклая линейная комбинация двух других точек отрезка.
Соотношения (2) и (3) верны независимо от размерности пространства.
Пусть имеется n  точек: …. 
Точка А есть выпуклая линейная комбинация, если 
А= λ*+ λ*+…+ λ*, 
где λ, j = 1…n, 
Df:   Множество точек называется выпуклым, если оно вместе с любыми двумя точками содержит и их произвольную выпуклую линейную комбинацию (т.е. отрезок их соединяющий) 

М- выпукло,
N – нет.
                                                                                                     


              

 


Примеры выпуклых множеств:  прямая, отрезок прямой, полуплоскость, круг, шар, куб, подпространство  и т.д.

Df: Точка множества называется граничной, если любой шар сколь угодно малого радиуса с центром в этой точке содержит как точки принадлежащие, так и не принадлежащие ему. Граничные точки образуют границу.

Df: Замкнутым  называется множество содержащее все свои граничные. Замкнутое множество может быть ограниченным и неограниченным.

Df: Множество называется ограниченным, если существует шар конечного радиуса с центром в любой точке множества, которое полностью содержит в себе данное множество, в противном случае множество неограниченно.

Пересечение выпуклых множеств, есть выпуклое множество.  

        F, F - выпуклы, F = F F


Возьмем в F произвольные точки F и F и соединим  отрезком. Отрезок AA F, F, так как они выпуклые множества, этот же отрезок и  F, так как это пересечение F и F  F – выпукло.
Df: Угловыми точками выпуклого множества, называются точки не являющиеся комбинацией двух различных точек плоскости.
Например,  угловыми точками треугольника являются его вершины. Для круга – точки окружности, его ограничивающей.
Таким образом, выпуклое множество может иметь как конечное, так и бесконечное число угловых точек.
Не будут иметь угловых точек – прямая, плоскость, полуплоскость, подпространство.
       Df: Выпуклым многоугольником  называется выпуклое замкнутое ограниченное множество на плоскости, имеющее конечное число угловых точек. Угловые точки – его вершины. Отрезки, соединяющие две вершины – рёбра.
Df: Опорной прямой выпуклого многоугольника называется прямая, имеющая с многоугольником, расположенным по одну от неё сторону хотя бы одну общую точку. 
 M, АВ – ОПОРНЫЕ

Df: Выпуклым многогранником называется выпуклое замкнутое ограниченное множество в трехмерном пространстве, имеющее конечное число угловых точек. Ограниченные выпуклые многоугольники – грани. Опорной  является плоскость с теми же условиями, что и прямая.

Теорема.(*) Замкнутый, ограниченный выпуклый многогранник является выпуклой линейной комбинацией своих угловых точек.
Доказательство.
Рассм. многоугольник, имеющий n вершин. Докажем, что любая точка треугольника удовлетворяет теореме. Возьмём произвольную точку А, проведём через неё отрезок АА. Так как А  она выпуклая линейная комбинация его концов, т. е. 
(*) А = , где,>0, + = 1 
                              A= , где, ,, +=1
Подставляя получим.
 
Обозначим  = λ, = λ, =λ,   λ, i:= 1,2,3
, +  +=1
Т.е. A – выпуклая линейная комбинация  
В выпуклом многоугольнике, n>3 возьмём произвольную точку А. С помощью диагонали, проведенной  из первой вершины, разобьём многоугольник на n-2 треугольника, точка А  попадет в одну из них и без ограничений общности точка А будет выпуклой комбинацией трех вершин, а значит , λ, j:=1…n, 
Т.е. А – выпуклая линейная комбинация угловых точек. Доказано


12.06.2014; 22:56
хиты: 682
рейтинг:0
для добавления комментариев необходимо авторизироваться.
  Copyright © 2013-2016. All Rights Reserved. помощь