Енергія електричного поля

3.1.4. Електроємність. Конденсатори

Електроємністю (ємністю) – провідника С називають величину, що дорівнює відношенню заряду q, наданого провіднику до його потенціалу :

Одиниця електричної ємності в СІ – фарад, [C] = Кл/В=Ф.

Система з двох провідників розділених шаром діелектрика, товщина якого мала порівняно з розмірами провідників, називається конденсатором. Конденсатор бувають плоскі, циліндричні, сферичні.

Електроємність плоского конденсатора:

S – площа пластини, d – відстань між пластинами, ? – діелектрична проникність діелектрика.

Ємність конденсатора з п пластин:

Конденсатори з’єднують у батареї паралельно або послідовно.

1. Паралельне з’єднання (Рис. 31):

Напруги на всіх конденсаторах однакові:

U₁=U₂=…=U_n

q = q ₁+ q₂+ … + q_n

Тоді С_пар = С₁+С₂+…+С_n

2. Послідовне з’єднання (Рис. 32):

Заряди усіх конденсаторів при послідовному їх з’єднанні однакові.

Загальна ємність:

Потенціальна енергія зарядженого конденсатора:

Для плоского конденсатора:

Густина енергії електричного поля:

Енергія електричного поля

Досвід показує, що заряджений конденсатор має запас енергії.

Енергія зарядженого конденсатора дорівнює роботі зовнішніх сил, яку потрібно виконати, щоб зарядити конденсатор.

Процес зарядки конденсатора можна представити як послідовне перенесення достатньо малих порцій зарядуΔq > 0 з одної обкладки конденсатора на другу (мал. 1). При цьому одна обкладка поволі зарядиться додатнім зарядом, а друга – від’ємним. Оскільки кожна порція переноситься в умовах, коли на обкладках вже є деякий заряд q, а між ними існує деяка різниця потенціалів

U = q/C

при перенесенні кожної порції Δq зовнішні сили повинні виконати роботу:

ΔА = UΔq = qΔq/C

Мал. 1 Процес зарядки конденсатора

Енергія We конденсатора ємності C, зарядженого зарядом Q, може бути знайдена шляхом інтегрування цього виразу в межах от 0 до Q:

We = A = Q2/2C

Формулу, що виражає енергію зарядженого конденсатора, можна переписати в іншій еквівалентній формі, якщо скористатись співвідношенням Q = CU:

Електричну енергію We слід розглядати як потенціальну енергію, запасену в зарядженому конденсаторі. Формули для We аналогічні формулам для потенціальної енергії Ep деформованої пружини

де k – жорсткість пружини, x – деформація, F = kx – зовнішня сила.

З міркувань локалізації електричного поля в конденсаторі, електрична енергія конденсатора локалізована в просторі між обкладками конденсатора. Тому її називаютьенергією електричного поля. Це легко розглянути на прикладі зарядженого плоского конденсатора.

Напруженість однорідного поля в пласкому конденсаторі дорівнює E = U/d, а його ємність

С = εε0S/d.

Тому:

де V = Sd – об’єм простору між обкладками, зайнятий електричним полем. З цього співвідношення випливає, що фізична величина

є електричною (потенціальною) енергією одиниці об’єму простору, в якому створено електричне поле. Її називають об’ємною густиною електричної енергії.

Енергія поля, створеного будь-яким розподілом електричних зарядів в просторі, може бути знайдена завдяки інтегруванню об’ємної густини we по всьому об’єму, в якому існує електричне поле.

Енергія електростатичного поля. Густина енергії

Припустімо, що окремі електричні заряди і заряджені тіла перебувають в однорідному ізотропному середовищі, якому не притаманні сегнетоелектричні властивості. Щоб зарядити будь-який провідник, треба виконати певну роботу проти кулонівських сил відштовхування між однойменними електричними зарядами. Ця робота витрачається на збільшення електричної енергії зарядженого провідника.

Нехай ми маємо провідник, електроємність, заряд і потенціал якого відповідно С, q, φ. Робота, що виконується проти сил електростатичного поля при перенесенні заряду dq із нескінченності на провідник.

Щоб зарядити тіло до потенціалу φ, потрібно виконати роботу

Енергію зарядженого провідника WЕ визначають за формулою

Вираз називають власною енергією зарядженого тіла. Проте електростатичне поле пов’язане із зарядом провідника. Тому формула (8.38) виражає енергію електростатичного поля. Очевидно, що енергію зарядженого конденсатора також визначають за формулою (8.38), де φ — різниця потенціалів між його обкладками.

Визначимо енергію електричного поля плоского конденсатора спочатку для випадку ε = 1, якщо відомі напруженість його поля Е, відстань між пластинами конденсатора d, їх площа s:

де V — об’єм простору між пластинами конденсатора. Тоді в загальному випадку, коли ε ≠ 1, енергію електростатичного поля конденсатора визначають за формулою

Звідси неважко визначити об’ємну густину енергії однорідного електростатичного поля

У разі неоднорідного електричного поля об’ємну густину енергії в будь-якій точці поля визначають так:

де ΔWЕ— енергія поля в об’ємі ΔV.

§2 Електроємність провідників.

Конденсатори

ВІДОКРЕМЛЕНИМ називається провідник, віддалений від інших провідників, тіл, зарядів. Потенціал такого провідника прямо пропорційний заряду на ньому

З досвіду випливає, що різні провідники, будучи однаково зарядженими Q₁ = Q₂здобувають різні потенціали φ₁≠ φ₂через різну форму, розміри й навколишнього середовища біля провідника (ε). Тому для відокремленого провідника слушна формула

де - ємність відокремленого провідника. Ємність відокремленого провідника дорівнює відношенню заряду q, надавання якого провіднику змінює його потенціал на 1 Вольт.

У системі SI ємність виміряється у Фарадах

Ємність кулі

Ємність відокремлених провідників дуже мала. Для практичних цілей необхідно створювати такі обладнання, які дозволяють накопичувати більші заряди при малих розмірах і потенціалах.КОНДЕНСАТОР – обладнання, що служить для накопичування заряду й електричної енергії. Найпростіший конденсатор складається із двох провідників, між якими перебуває повітряний зазор, або діелектрик (повітря – це теж діелектрик). Провідники конденсатора називаються обкладками, і їхнє розташування по відношенню друг до друга підбирають таким, щоб електричне поле було зосереджено в зазорі між ними. Під ємністю конденсатора розуміється фізична величина С, рівна відношенню заряду q, накопиченого на обкладках, до різниці потенціалів між обкладками.

Розрахуємо ємність плоского конденсатора із площею пластин S, поверхневою густиною заряду σ, діелектричною проникністю ε діелектрика між пластинами, відстанню між пластинами d. Напруженість поля рівна

Використовуючи зв'язок Δφ і Е, знаходимо

ємність плоского конденсатора.

Для циліндричного конденсатора:

Для сферичного конденсатора

Так як при деяких значеннях напруги в діелектрику наступає пробій (електричний розряд через шар діелектрика), то для конденсаторів існує пробивна напруга. Пробивна напруга залежить від форми обкладок, властивостей діелектрика і його товщини.