Момент імпульсу

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки О називається фізична величина, яка визначається векторним добутком:

Моментом імпульсу відносно нерухомої осі z називається скалярна величина, яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу, визначеного відносно довільної точки О даної осі.

Момент імпульсу твердого тіла відносно осі дорівнює сумі моментів імпульсів окремих частинок:

Продиференціювавши за часом, отримаємо:

Ще одна форма рівняння динаміки обертального руху твердого тіла у векторній формі:

Закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкненої системи зберігається:

При рівномірному обертанні твердого тіла відносно деякої осі z закон збереження моменту імпульсу рівносильний:

Моме́нтом і́мпульсу називається векторна величина, яка характеризує інерційні властивості тіла, що здійснює обертальний рух відносно певної точки (початку координат).

Зміст

[сховати]

Момент імпульсу в класичній механіці[ред. • ред. код]

З'вязок між імпульсом

\scriptstyle{\mathbf p}

і моментом

\scriptstyle{\mathbf L}

Визначення[ред. • ред. код]

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно початку координат в класичній механіці є величина, яка дорівнює векторному добутку радіус-векторацієї частинки на її імпульс.

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$

Відповідно,

L -- кутовий момент
r -- радіус-вектор частинки
p -- імпульс частинки

Якщо фізична система складається з багатьох матеріальних точок, то результуючий момент імпульсу відносно початку координат є сумою (інтегралом) усіх моментів імпульсу складових системи.

Для багатьох практичних задач, які вивчають властивості об'єкта, що обертається навколо певної осі, достатньо проаналізувати скалярне значення момента імпульсу, який є додатним, якщо обертання відбувається проти годинникової стрілки та від'ємним, якщо навпаки.

Відповідно до визначення векторного добутку векторів, скаляр момента імпульсу визначається як:

$\mathbf{L} = |\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p}$

де θ_r,p -- кут між r та p, який вимірюється від r до p; такий порядок обходу векторів при визначенні кута є принциповим. Якщо порядок змінити на зворотний, зміниться й знак.

Для тіла сталої маси, яке обертається навколо фіксованої осі, момент імпульсу можна визначити як добуток момента інерції тіла відносно цієї осі на його кутову швидкість:

$\mathbf{L}= I \mathbf{\omega}$

де I -- момент інерції частинки, ω -- вектор кутової швидкості.

Момент імпульсу у Спеціальній теорії відносності та класичній теорії поля[ред. • ред. код]

У Спеціальній теорії відносності вектор моменту імпульсу дає компоненти антисиметричного тензора другого рангу - тензора моменту імпульсу та спіну:

$\ L_{\alpha \beta} = x_{\alpha}p_{\beta } - x_{\beta }p_{\alpha }$ ,

або, у явному вигляді,

$\ L_{\alpha \beta } = (\mathbf G , \mathbf L ) = \begin{pmatrix} 0 & -G_{x} & -G_{y} & -G_{z} \\ G_{x} & 0 & L_{z} & -L_{y} \\ G_{y} & -L_{z} & 0 & L_{x} \\ G_{z} & L_{y} & -L_{x} & 0 \end{pmatrix}$ ,

де $\ \mathbf L = [\mathbf r \times \mathbf p], \quad \mathbf G = \frac{E}{c}\mathbf r - ct \mathbf p$ - вектори моменту імпульсу та спіну.

Тензорне представлення вектора моменту імпульсу слідує з того, що перетворення Лоренца даного вектора співпадає з перетворенням Лоренца компонент антисиметричного тензора.

У рамках класичної теорії поля тензором моменту імпульсу та спіну називають струм, який відповідає інваріантності лагранжіану поля по відношенню до перетворень Лоренца, які можна інтерпретувати як повороти у 4-просторі-часі:

$\ J_{\mu , \alpha \beta} = L_{\mu, \alpha \beta } + S_{\mu , \alpha \beta} = (x_{\alpha }T_{\mu \beta} - x_{\beta}T_{\mu \alpha }) + \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu }\Psi_{k})}Y_{k, \alpha \beta}$ ,

де $\ T_{\alpha \beta }$ - тензор енергії-імпульсу, $\ \Psi_{k}$ - поле, $\ Y_{k, \alpha \beta}$ - величина-похідна, що визначає трансформаційні властивості поля по відношенню до перетворення Лоренца.

Наявність спінової частини у тензорі моменту імпульсу та спіну тісно пов'язано із симетрією тензора енергії-імпульсу відносно перестановки індексів. Якщо тензор енергії-імпульсу симетричний, то кутова та спінова частини тензору моменту імпульсу та спіну зберігаються (у термінах теорії поля) окремо. Якщо ж провести процедуру "занесення" спінової частини до кутової тензору моменту імпульсу та спіну, то одночасно із цим можна симетризувати тензор енергії-імпульсу. Така процедура називається процедурою Беліфанте. $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$ $\$

Закон збереження момента імпульсу[ред. • ред. код]

Момент імпульсу -- одна з фізичних величин, для якої діє фундаментальний закон збереження.

Назвемо замкненою (в сенсі обертання) таку систему, для якої сума моментів зовнішніх сил M дорівнює нулю. Для такої системи

$\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \sum \boldsymbol{M_i} = 0$

та

$\mathbf{L} = \text{const}$ .

Тобто, в замкненій системі момент імпульсу зберігається незмінним. Як випливає з теореми Нетер, таке твердження є наслідком ізотропності (тобто рівноцінності всіх напрямів) простору.

Момент імпульсу в квантовій фізиці[ред. • ред. код]

Докладніше у статті Оператор кутового моменту

В квантовій механіці момент імпульсу визначається не як фізична величина, а як оператор над вектором стану.

Оператор момента імпульсу має вигляд:

$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}$

де r та p -- оператори радіус-вектора та імпульсу системи. Для вільної частинки без спіну та електричного заряду, оператор момента імпульсу може бути наведений в такій формі:

$\mathbf{L}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla)$ , де $\nabla$ -- оператор Гамільтона.

Окремі компоненти оператора момента імпульсу не комутують між собою. Внаслідок цього їх неможливо визначити одночасно. Детальніше дивись в статті оператор кутового моменту.