Закон обертального руху

Закон обертального руху твердого тіла

Розглянемо рух твердого тіла закріпленого в нерухомій точці навколо якої може обертатись. Ця точка навколо якої тіло може обертатись називається центром обертання. Сумістимо цю точку з початком системи координат . В такому випадку положення тіла в просторі буде повністю визначене. Швидкість зміни імпульса тіла, що обертається навколо точки дорівнює результуючому моменту відносно цієї точки всіх зовнішніх сил, які прикладені до цього тіла. Це і є основний закон обертального руху твердого тіла.

   Момент інерції матеріальної точки рівний

  Моментом інерції системи щодо осі обертання називається фізична величина, рівна сумі добутку мас n матеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до розглянутої осі.

Момент інерції тіла у випадку безперервного розподілу маси рівний

-інтегрується по всьому об'єму.

1. Знайдемо момент інерції однорідного диска щодо осі, перпендикулярної до площини диска й проходячої через його центр. Розіб'ємо диск на кільцеві шари товщиною dr. Усі точки шару будуть перебувати на однаковій відстані від осі, рівному r. Об'єм такого шару рівний

   

Площа кільця

 

 

 

2. Порожній тонкостінний циліндр радіуса R (обруч, велосипедне колесо й таке інше).

 

 

 

3. Суцільний циліндр або диск радіуса

 

 

 

4. Прямий тонкий довжиною    стрижень, вісь перпендикулярна стрижню й проходить через його середину.

  

 

5. Куля радіуса R, щодо осі, що проходить через його центр.

 

 

 

 Якщо відомий момент інерції тіла щодо осі, що проходить через його центр мас, момент інерції щодо будь-якої іншої осі паралельної даної, визначається за допомогою теореми Штейнера: момент інерції тіла Іщодо паралельної осі обертання дорівнює моменту інерції І_с щодо паралельної осі, що проходить черезцентр мас тіла, складеному здобутком маси m тіла на квадрат відстані а між осями

І = І_с + mа²

Наприклад, для обручу на рисунку момент інерції відносно вісі О'О' дорівнює

 

 

6. Момент інерції прямого стрижня довжиною , вісь перпендикулярна стрижню й проходить через його кінець.

§2 Кінетична енергія обертання

Розглянемо абсолютно тверде тіло, що обертається навколо нерухливої осі Z, що проходить через нього з кутовою швидкістю w. тому що тіло є абсолютно твердим, отже, усі точки тіла будуть обертатися з однаковою кутовою швидкістю  

     Якщо розбити тіло на малі об'єми з елементарними масами m₁,m₂…, що перебувають на відстані r₁,r₂…, від осі обертання, то кінетичну енергію тіла можна записати у вигляді

 

 

Відомо, що   або     

    З порівняння W_{k. обер.} з  W_k. поступального руху () випливає, що момент інерції обертального руху заміняє масу в обертальному русі і є мірою інертності тіла.

   Якщо тіло бере участь у поступальному й обертальному русі одночасно, то його

Наприклад, циліндр котитися без ковзання по площині.

§3 Момент сили.

Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла

  

Момент сили  щодо нерухомої точки O називається псевдовекторна величина  рівна векторному добутку радіус-вектора ,проведеному із точки O у точку прикладання сили, на силу  .

псевдовектор, його напрямок збігається з напрямком площини руху правого гвинта при його обертанні від   до.

Модуль момента сили

Напрямок моменту сили можна також визначити за правилом лівої руки: чотири пальці лівої руки поставити по напрямкові першого співмножника , другий співмножник  входить у долоню, відігнутий під прямим кутом великий палець укаже напрямку моменту сили  .Вектор моменту сили завжди перпендикулярний площини, у якій лежать вектори   і.

 -де найкоротша відстані між лінією дії сили й точкою О -називається плечем сили.

Моментом сили  щодо нерухомої осі називається скалярна величина рівна проекції на цю вісь вектора моменту сили , оппевного щодо довільної точки O даної осі Z. Якщо вісь Z перпендикулярна площини, у якій лежать вектори

  і, т.т. . збігається з напрямком вектора , то момент сили представляється у вигляді вектора співпадаючого з віссю

Вісь, положення якої в просторі залишається незмінним при обертанні навколо тіла під час відсутності зовнішніх сил, називається вільною віссю тіла.

   Для тіла будь-якої форми й з довільним розподілом маси існує 3 взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр інерції, осі, які можуть служити вільними осями: вони називаються головними осями інерції тіла.

  Знайдемо вираження для роботи при обертальному русі тіла. Нехай на масу М твердого тіла діє зовнішня сила . Тоді робота цієї сили за час dt рівна     

  Здійснимо в змішаному добутку векторів циклічну перестановку співмножників скориставшись правилом

Тоді

     Робота при обертанні тіла дорівнює добутку моменту дії сили на кут повороту .Робота при обертанні тіла йде на збільшення його кінетичної енергії:

поцьому

 

 або

             

Звідси

- рівняння динаміки обертального руху

     Якщо вісь обертання збігається з головною віссю інерції, що проходить через центр мас, то виконується векторна рівність

   І -головний момент інерції (момент інерції щодо головної осі)

 

§4 Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу

  Моментом імпульсу матеріальної точки А щодо нерухомої точки О називається фізична величина, обумовлена векторним добутком

  ;

Модуль моменту імпульсу

- радіус вектор, проведений із точки O у точку А

- імпульс матеріальної точки.

 -псевдовектор, його напрямок визначається за правилом лівої руки.

Моментом імпульсу твердого тіла щодо нерухомої осі  Z  називається скалярна величина рівна проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу, певного щодо довільної точки O даної осі. Значення моменту імпульсу     не залежить від положення точки O на осі Z.

   Момент імпульсу твердого тіла щодо осі є сума моментів імпульсу окремих часток:

Продифференцируем по  dt    

- основне рівняння динаміки обертального руху.

Взагалі виконується векторна рівність

У замкненій системі момент зовнішніх сил дорівнює нулю

Закон збереження моменту імпульсу: момент імпульсу замкненої системи зберігається, тобто не змінюється із часом

 

§5 Величини, що характеризують поступальний і обертальний рух і зв'язок між ними

	Поступательное движение	Вращательное движение	Связь
1	- шлях
2	- швидкість;
3	- прискорення;	– кутове прискорення
4	m - маса	- момент інерції
5	- імпульс;	– момент імпульсу
6	;
7	;	– кін. енергія обертального руху
8	dA -елементарна  робота;	dA -  елементарна робота обертального руху