Преобразования Лоренца

Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта $S$ и $S'$ параллельны друг другу, $(t, x, y, z)$ — время и координаты некоторого события, наблюдаемого относительно системы $S$ , а $(t',x',y',z')$ — время и координаты того же события относительно системы $S'$ .

Общий вид преобразований Лоренца в векторном виде^[13], когда скорость систем отсчёта имеет произвольное направление:

$t'=\gamma\cdot \left(t-\frac{\mathbf{r}\mathbf{v}}{c^2}\right),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathbf{r}' = \mathbf{r} - \gamma\mathbf{v} t + (\gamma-1)\,\frac{(\mathbf{r}\mathbf{v}) \mathbf{v}}{v^2}.$

где $\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2/c^2}$ — фактор Лоренца, $\mathbf{r}$ и $\mathbf{r}'$ — радиус-векторы события относительно систем S и S'.

Если сориентировать координатные оси по направлению относительного движения инерциальных систем (то есть в общие формулы подставить $\mathbf{r}\mathbf{v}=||\mathbf{r}|| ||\mathbf{v}||=r v$ ) и выбрать это направление в качестве оси $x$ (то есть так, чтобы система S' двигалась равномерно и прямолинейно со скоростью $v$ относительно S вдоль оси $x$ ), то преобразования Лоренца примут следующий вид:

$t'=\frac{t-\frac{\displaystyle v}{\displaystyle c^2}\,x}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~ x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{\displaystyle v^2}{\displaystyle c^2}}},~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z,$

где $c$ — скорость света. При скоростях много меньше скорости света ( $v\ll c$ ) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:

$t'=t,~~~~~~~~~~~ x'=x-vt,~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z.$

Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику).